LOUIS COUTURAT TO BR, 13 JAN. 1906
BRACERS 902. TLS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #197
Edited by A.-F. Schmid

Paris,
le 13 Janvier 1906.^a

Cher Monsieur,

Je vous remercie de toutes les explications contenues dans votre dernière lettre. — La différence qu’on fait en français entre « suite » et « série » consiste en ce que « série » implique l’idée de somme ; c’est aussi, je crois, la différence de « Folge » et « Reihe ». C’est pourquoi je traduis votre « series » par « suite ». — Oui, j’ai vu ce que vous dites de l’existence logique en réponse à M. Mac Coll ; cela me paraît juste, et je ne puis que le répéter dans ma réponse à M. Poincaré.

Je suis allé voir celui-ci ces jours derniers ; il refuse de discuter verbalement. J’ai essayé de lui exposer certains arguments, mais il s’est constamment dérobé. Par exemple, j’ai voulu lui montrer que de ce qu’un nombre se définit par récurrence il résulte logiquement qu’on peut raisonner sur lui par récurrence (le mot « récurrence » ne pouvant se définir que par le principe d’induction) ; il a paru ébranlé, mais n’a pas voulu avouer. De même, je lui ai montré que la formule de Burali-Forti qu’il a critiquée si légèrement n’enveloppe nullement un cercle vicieux : « C’est possible », m’a-t-il répondu. Je lui ai dit que les démonstrations formelles qu’il réclamait se trouvent dans le Formulaire et dans le mémoire de Whitehead « On cardinal numbers » ; je lui ai même offert de lui laisser le Formulaire ; il a refusé, en avouant implicitement qu’il ne lisait pas « le Péanien ». Il était évident qu’il ne connaissait le mémoire de Whitehead que par mon analyse ; et il lui suffisait de savoir qu’il contenait « la même chose » que les mémoires de Cantor. Je lui ai dit enfin que la démonstration de l’existence des nombres entiers se trouve textuellement à la fin de votre ouvrage, et lui en ai cité le passage essentiel ; il a dit « qu’il verrait » ; puis il a dit que vous ne pouviez pas avoir démontré cela, qu’il s’en était rendu compte ailleurs (allusion à votre article critique du Mind). Bref, je n’ai rien pu obtenir de lui, même pas l’examen sérieux et consciencieux des doctrines qu’il a critiquées sans les connaître. Il ne nous reste donc plus qu’à lui montrer publiquement ses erreurs, comme il m’y invite. Ma réponse est à peu près prête ; elle est longue, et aussi complète que possible, car je n’ai voulu lui faire grâce d’aucune inexactitude. J’attends la réponse de Burali-F. et peut-être de M. Peano pour terminer la mienne en conséquence. Si vous avez quelque chose à dire à cette occasion, je vous prie de ne pas tarder à me l’envoyer, afin que cela puisse passer dans le n° de mars.

Sur la question de l’existence, M. Poincaré est visiblement hanté par les idées de Hilbert, qu’il semble préférer à celles des logisticiens. Il prétend que l’on est obligé de démontrer la non-contradiction d’un système de postulats, et cela directement, en les confrontant deux à deux. Je lui ai dit que c’était impossible, qu’aucun mathématicien n’avait donné l’exemple d’une telle démonstration ; il en est convenu, mais il prétend imposer cette méthode impraticable aux logiciens ; pour lui, il admet simplement la non-contradiction, à titre de « jugement synthétique à priori ». C’est fort commode ! Et il accuse les logisticiens de commettre tacitement le même postulat. Il me semble que son exigence est exorbitante, et qu’on ne peut jamais démontrer directement la non-contradiction d’un système de prémisses ; on ne peut que constater la contradiction, quand elle se présente dans les conséquences qu’on en tire. Qu’en pensez-vous ?

Vous dites qu’on peut tout aussi bien partir de 1 que de 0 pour démontrer l’existence des nombres entiers. Mais c’est parce que 0 est une classe singulière que vous prouvez que la classe 1 existe ; c’est parce que 0 et 1 existent que vous montrez l’existence de la classe 2, et ainsi de suite : le nombre n + 1 existe, parce qu’il est le nombre des nombres entiers de 0 à n (voyez le dernier § de votre livre). Il me semble donc que vous êtes obligé de partir de 0, et non de 1. Cela n’a d’ailleurs aucun inconvénient pour moi ; c’est seulement plus paradoxal pour les profanes, qui ne comprennent pas bien la classe nulle.

Vous vous trompez en croyant que, si M. Poincaré pense que le théorème de Bernstein repose sur le pr. d’induction, c’est parce qu’on passe de α, β à α + 1, β + 1. Non : c’est parce qu’on considère dans la démonstration de ce théorème (telle qu’elle est donnée par Borel) une double suite d’ensembles partiels, numérotés par la suite des nombres finis. Et dans son second article il me défie d’apporter une autre démonstration, qui n’implique pas le principe d’induction. Je n’ai pas encore vu la démonstration de Zermelo, que vous m’indiquez. Mais, en relisant le mémoire de Whitehead On cardinal Numbers, je remarque que vous y donnez une démonstration (P 4. 5) indépendante du principe d’induction, et qui en revanche invoque la Pp 4. 3. Cette Pp paraît évidente, pour le bon sens ou l’intuition ; mais en avez-vous maintenant une démonstration formelle ? Dans ce cas, je citerais votre démonstration du théorème de Bernstein ; mais dans le cas contraire, je crois inutile de jeter dans le débat un nouveau postulat, dont les adversaires triompheraient ; et je me contenterai de la réponse que je vous ai indiquée.

Vous me dites une chose très intéressante : vous pouvez, dites-vous, identifier les deux définitions du fini (ou de l’infini), si vous admettez le postulat suivant : u ε Clsfin . ⸧ . Cls’u ε Clsfin . Est-ce que cette proposition (si évidente pour le bon sens) ne peut pas se démontrer en partant de la définition du fini par la non-équivalence du tout et de la partie ? (N. B. : j’emploie « équivalence » pour « similarity », et réserve « similitude » pour « likeness »).

Je crois vous avoir dit que Huntington démontre le pr. d’induction en invoquant pour les nombres entiers (plus exactement, pour les suites discrètes, ce que vous appelez les progressions) le postulat de Dedekind (dit postulat de continuité). Je ne sais pas si l’on peut fonder l’Arithmétique des nombres entiers sur ce postulat (joint aux autres) aussi aisément que sur les postulats de Peano, ou sur votre définition, qui les résume et les remplace.

A ce propos, j’ai obtenu de M. Huntington la permission de faire publier son mémoire sur le Continu traduit en Esperanto ; et j’ai obtenu de M. Gauthier-Villars qu’il l’édite. C’est une tentative curieuse. J’ai pensé qu’une traduction esperanto aurait bien autant de chances de se vendre qu’une traduction française. Si cela peut réussir, ce sera une bonne réclame pour l’Esperanto chez les mathématiciens.

Pour revenir au principe d’induction, vous vous rappelez que je n’aime pas ce nom, et vous ai proposé de le changer. La confusion que M. Poincaré a faite entre l’induction complète et l’induction pure et simple me décide à proposer ce changement : je dirai « principe de récurrence ». Voyez-vous un autre mot meilleur ?

A propos de L. I., M. Ostwald fait avec le plus grand succès de la propagande pour l’Esperanto aux Etats-Unis : il fonde des groupes espérantistes, fait des conférences aux Académies et sociétés savantes, etc. C’est un peu, je crois, ce qui a décidé M. Huntington, qui est justement à Cambridge (Harvard). En revanche, Sir W. Ramsay, qui s’était prononcé en faveur de l’Esperanto, paraît singulièrement refroidi ou du moins découragé ; il m’écrit qu’il n’a aucun espoir de convertir le monde savant anglais, qu’on lui répond de tous les côtés que l’anglais est la langue universelle ; ... et il semble que cette opinion soit aussi la sienne. — Savez-vous que le Daily News publie presque tous les jours des articles en Esperanto ? L’Esperanto paraît réussir surtout chez les petits commerçants ou employés de commerce anglais, qui, ne sachant pas de langue étrangère, sont bien aises de communiquer ainsi avec les autres pays.^b — Pourtant, à Edinburgh, le Prof. Ch. Sarolea (notre secrétaire pour l’Ecosse) a réussi a fonder plusieurs groupes espérantistes, dont un comprenant exclusivement des universitaires, au nombre de 200 environ. Mais peut-être l’Ecosse est-elle un pays plus favorable que l’Angleterre ? Ou cela tient-il tout simplement (comme ailleurs) au zèle et à l’habileté du propagandiste ?

A propos de L. I., M. Poincaré (qui patronne très platoniquement l’Esperanto, sans le savoir plus que la Logistique) m’a dit ceci, qui vous amusera : On pourrait, à la rigueur, adopter l’anglais comme L. I., si les Anglais consentaient à le prononcer « comme tout le monde ». Il y a quelque chose de juste dans ce paradoxe : il est certain que la principale difficulté de l’anglais est sa prononciation, et qu’elle rend méconnaissables aux étrangers même les mots qu’ils connaissent le mieux : « nation, nature, creature », etc. Aussi ceux qui (comme le fameux Carnegie) veulent faire de l’anglais la L. I. au moyen d’une orthographe phonétique (conforme à la prononciation actuelle) vont-ils au rebours de leur fin. Il faudrait plutôt rendre la prononciation conforme à l’orthographe internationale des mots (comme en Esperanto). Mais, naturellement, c’est ce dont les Anglais ne voudront jamais. Mieux vaut donc l’Esperanto, ... c.q.f.d. !

Nous ne manquons pas, en France, de préoccupations extra-logiques ; l’élection du président de la République, la conférence d’Algésiras ... Les^c symptômes^c les^c plus rassurants^c sont^d les déclarations nettement pacifiques de Sir Campbell Bannermann, notamment à l’égard de l’Allemagne, et le mouvement de rapprochement anglo-allemand qui se dessine (analogue au rapprochement anglo-français après Fachoda, et dirigé par les mêmes hommes : Sir Th. Barclay, lord Avebury ... ; puisse-t-il avoir le même succès !) Car il ne faut pas se dissimuler que le principal grief de l’Allemagne contre la France est l’amitié de celle-ci avec l’Angleterre. Enfin, j’espère que tout se passera bien ; mais il faut toujours craindre un accident avec Messieurs les diplomates, qui jouent nos destinées sur un tapis vert, pour un mot parfois !

Recevez, cher Monsieur, l’expression de mes sentiments bien cordiaux.

<signed> Louis Couturat

Je viens de recevoir de M. Mac Coll son nouveau livre Symbolic Logic. Il ne contient rien de nouveau, je crois, mais il résume bien ses théories.

Notes

^aLettre conservée aux Archives Russell, dactylographiée ^b[avec les autres pays] ^c{s} ^d[est]{sont}