LOUIS COUTURAT TO BR, 17 DEC. 1905
BRACERS 901. TLS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #195
Edited by A.-F. Schmid

Paris,
le 17 Décembre 1905.^a

Cher Monsieur,

J’ai reçu ces jours-ci l’épreuve du second article de M. Poincaré et je vous l’envoie. Les critiques qu’il adresse à Hilbert me semblent justes en général, et je serais plutôt tenté d’en ajouter d’autres. Mais je me bornerai à séparer nettement la cause de la Logistique de celle de Hilbert, que je n’ai pas à discuter. Au surplus, le premier article de M. P. contient tant d’erreurs matérielles et de contresens que j’aurai fort à faire pour les rectifier tous. Je viens d’esquisser le plan de ma réponse, et je vais vous en communiquer les principaux points, en passant sous silence ceux que vous m’avez signalés dans vos notes. Il me sera facile de justifier la formule de Burali-Forti en me référant à sa définition du symbole Un qu’il a donnée dans Le classi finite. M. P. raisonne sur ce point avec une légèreté incroyable ; il n’a même pas vu que dans la formule qu’il incrimine, le chiffre 1 représente le nombre ordinal, et le symbole Un le nombre cardinal, de sorte qu’il n’y a pas tautologie. D’ailleurs, la définition de Un par B.-F. équivaut à celle que j’ai donnée d’après vous, et elle est exempte de tout cercle vicieux, du moment que l’on ne confond pas le nombre Un avec l’article indéfini. J’ai bien envie de dire, que si quelqu’un « abuse de la langue française », ce n’est pas nous.

Naturellement, je serai obligé de montrer que M. Poincaré s’attache uniquement à la traduction verbale des formules, comme s’il ne pouvait pas lire celles-ci ; et je dirai : « c’est comme si on voulait étudier la métrique de Virgile dans une traduction française de l’Enéide ». Je suis décidé à employer des arguments aussi gros que les siens ; car j’apprends que son article a fait beaucoup d’effet auprès des profanes, précisément par la grossièreté et la superficialité de ses arguments.

Je ne serai pas embarrassé pour défendre le symbolisme logique contre ses objections puériles. Je lui dirai que l’Algèbre et le Calcul infinitésimal pourraient aussi être déclarés inutiles par les mêmes arguments. — Il me semble que M. P. confond l’induction complète avec l’induction tout court, quand il dit que c’est le principe d’induction qui nous permet d’affirmer que, si nous n’avons pas trouvé de contradiction dans les n premiers syllogismes, nous n’en rencontrerons pas non plus avec le (n + 1).^e N’est-ce pas votre avis ? Le numéro d’ordre du syllogisme n’a rien à voir avec sa valeur, ni avec la probabilité de trouver une contradiction. Ce n’est pas là une « propriété » des nombres entiers finis. — D’ailleurs, je reproche à M. P. : 1° de supposer que toute déduction mathématique consiste en une suite linéaire de syllogismes ; 2° de supposer qu’il faut compter ou numéroter ces syllogismes successifs, et que leur nombre importe en quoi que ce soit à la valeur du raisonnement.

Sur la question de l’existence, je soutiendrai la doctrine de tous les logisticiens ; je n’ai pas besoin de vous la rappeler. Il me semble que l’existence logique ne peut pas se définir par la non-contradiction des conditions de la définition, car si ce criterium était vrai, il ne serait jamais applicable. Sans doute, on prouve souvent qu’une entité n’existe pas (par ex. le plus grand des nombres premiers) en montrant que son existence entraîne une contradiction. Mais je n’ai jamais vu un mathématicien essayer de prouver positivement une existence en montrant que les conséquences de son admission ne sont pas contradictoires ; car une telle démonstration, toute négative, ne serait jamais finie, comme M. P. le remarque lui-même. C’est donc une exigence arbitraire que de demander qu’on démontre de chaque définition qu’elle n’est pas contradictoire. L’existence logique signifie qu’une classe définie contient au moins un élément, et c’est pourquoi l’on n’a pas d’autre moyen de la prouver que de montrer un tel élément (un exemple).

A ce propos, M. Poincaré vous reproche à tort (ce qui prouve qu’il ne vous a pas lu, et qu’il vous juge à travers mon analyse forcément sommaire et volontairement peu rigoureuse) de n’avoir pas démontré l’existence des nombres entiers. Vous vous rappelez que je n’avais pas grande confiance dans votre démonstration, parce qu’elle faisait tout dépendre de l’existence de la classe nulle, ce qui paraît paradoxal, et ce qu’on pourra toujours nier. Dans vos notes, vous me donnez une preuve formelle plus satisfaisante ; définissant les nombres finis par le principe d’induction, vous montrez que 0 le vérifie. Soit ; mais 0 existe-t-il ? vous demandera-t-on ; et alors nous voilà ramenés à l’existence de la classe nulle. Je crois qu’en Logistique on admet comme existants tous les individus, quels qu’ils soient ; et c’est pourquoi de « x est un a » on conclut : « il y a des a ». Quant à l’existence de l’individu x, elle n’est jamais mise en question. Il existe, semble-t-il, dès qu’on le pense. Et c’est ainsi que la classe nulle existe, non comme classe, bien entendu, mais comme individu, comme objet de pensée. Il faudrait tirer cette question au clair pour pouvoir répondre quelque chose de solide à M. P. — Comme me le fait remarquer M. Peano, l’existence des classes est représentée par le signe E renversé ; tandis que l’existence des individus se traduit par les formules de la forme : « x est un a » ; c’est à dire : « il y a un a qui possède les propriétés attribuées à l’individu x ».

La question qui m’embarrasse le plus est naturellement la question mathématique, à savoir la contradiction apparente entre Cantor et B. F. M. Peano me dit que les deux auteurs ont correspondu à ce sujet, et reconnaissent qu’ils ne parlent pas des mêmes nombres ordinaux. M. B. F. doit d’ailleurs répondre directement à M. P., ce qui me dispense de parler de cette question, mais non d’y penser. Je vous rappelle la solution que vous avez donnée de la difficulté (R. d. M., VIII, p. 43 note, et Principles, pp. 323, 364). Vous dites avoir démontré logistiquement le théorème de Cantor : « De deux nombres ordinaux non égaux, l’un est plus petit que l’autre ». Au contraire, le théorème de B. F. repose sur cette prémisse, que l’ensemble de tous les nombres ordinaux peut être bien ordonné (et même parfaitement ordonné, ce qui est plus pour B. F.) et cette prémisse est, selon vous, indémontrée, de sorte que B. F. a en réalité démontré qu’elle est fausse. Mais vous savez qu’il a cru la démontrer dans Una questione sui numeri transfiniti, p. 10 ; c’est donc que vous ne considérez pas sa démonstration comme valable. Or je remarque qu’elle n’est pas effectuée au moyen de la Logistique ; et cela serait intéressant à dire, pour justifier celle-ci des reproches de M. P. — Mais ce qui serait encore bien plus intéressant, ce serait de donner la solution de cette contradiction par la Logistique ; et puisque vous croyez l’avoir trouvée, je ne saurais trop vous engager à la publier en réponse à M. P : ce sera la meilleure réfutation, une réfutation éclatante de ses critiques.

Il n’y a qu’un de ses arguments qui me paraisse avoir une certaine valeur : c’est quand il montre que la démonstration du théorème de Bernstein repose sur le principe d’induction. Voici ce que j’ai l’intention de lui répondre là-dessus : d’abord, ce n’est pas le théorème fondamental de la théorie des nombres infinis : car on peut faire la théorie de l’addition, de la multiplication, etc. de ces nombres sans l’invoquer. Ensuite, ce théorème porte plutôt sur les ensembles infinis que sur les nombres infinis : il s’agit de savoir dans quelles conditions deux ensembles ont le même nombre. Enfin, si le principe d’induction joue un rôle dans sa démonstration, c’est parce que les nombres finis eux-mêmes y jouent un rôle d’auxiliaires ; et ce rôle n’est pas essentiel, mais analogue à une construction géométrique, ce qui explique que les nombres finis ne figurent pas dans l’énoncé du théorème. — Naturellement, je ne prends pas au sérieux le défi ironique de M. P. qui m’invite à donner une autre démonstration de ce théorème. Mais si vous en avez une autre, je vous serais très obligé de me la communiquer, ou de la donner vous-même. Il doit y en avoir une autre, car celle qu’on donne me paraît inutilement compliquée. Je remarque, à ce propos, que ce théorème offre quelque analogie avec ce théorème (ou principe) de la Logique des classes : « Si deux classes sont contenues l’une dans l’autre (mutuellement), elles sont identiques ». C’est même la définition de l’égalité des classes en fonction de l’inclusion. Est-ce votre avis ?

Il me semble que M. Poincaré est tout à fait dans l’erreur quand il dit (p. 835) : « Un nombre peut être défini par récurrence ; sur ce nombre on peur^b raisonner par récurrence ; ce sont deux propositions distinctes. Le principe d’induction ne nous apprend pas que la première est vraie, il nous apprend que la première implique la seconde ». Je crois au contraire que la première implique logiquement la seconde, et constitue à elle seule le principe d’induction, tel que vous le formulez dans le passage du Mind cité par M. P. Mais j’hésite à attribuer une telle méprise à un mathématicien tel que M. P.

Ce qui me gêne un peu, c’est que vous m’avez appris (et je l’ai dit dans mes Principes, p. 65, note 6) que la réduction des deux définitions de l’infini l’une à l’autre n’est pas rigoureusement effectuée, et repose sur le postulat de Zermelo. Avez-vous trouvé le moyen de démontrer ce postulat, ou de vous en passer ?

En résumé, je vois bien ce qu’il faut répondre négativement à M. P. pour réfuter ses objections et montrer qu’il se trompe ; mais vous seul pouvez lui répondre positivement et d’une manière triomphante en fournissant la solution des difficultés qu’il soulève ou les démonstrations qu’il demande. J’en serais d’autant plus heureux que cela répondrait aussi aux doutes que Hilbert a exprimés au sujet de la Logique dans ses rapports avec l’Arithmétique.

Je voudrais bien aussi savoir comment Dedekind et Frege ont pu démontrer le principe d’induction (v. p. 60, note 2 de mon livre), je veux dire, si leur démonstration est valable, et quels postulats elle implique réellement. Je crois vous avoir dit que M. Huntington démontre le même principe en invoquant pour les nombres entiers le postulat de Dedekind (postulat dit de continuité, ou de la coupure) ; vous devinerez aisément comment. Il serait intéressant de démêler les postulats qui jouent un rôle analogue dans les démonstrations de Dedekind et de Frege.

Mon livre n’a pas été prêt aussitôt que je le pensais ; c’est seulement hier que je vous l’ai fait envoyer. J’y ai joint une note indiquant les passages ajoutés ou remaniés ; demandez-la-moi, si par hasard elle manquait.

Les évènements politiques m’inquiètent un peu ; l’attitude provocante et menaçante de l’Allemagne est incompréhensible. La France lui a fait toutes les concessions possibles en sacrifiant Delcassé et en acceptant la conférence ; et cela rend l’Allemagne plus exigeante et plus défiante encore. A qui en veut-elle décidément ? J’espère qu’elle n’osera pas provoquer l’Angleterre et la France réunies ; c’est mon principal espoir pour la paix. Mais je crains que la conférence d’Algésiras (ou de Madrid) n’amène des complications, au lieu d’aplanir le conflit. Personne ne veut la guerre en France ; mais on ne comprend rien à cette « querelle d’Allemand », et on n’est plus disposé à céder davantage, puisque l’on est si mal récompensé des gages qu’on donne de ses dispositions pacifiques et conciliantes. Quoi qu’il arrive, et en mettant les choses au mieux, cela causera une recrudescence des sentiments chauvins et belliqueux, ou du moins militaristes ; quand donc l’Allemagne cessera-t-elle de faire peser le cauchemar de la paix armée sur toute l’Europe ?

Vous devez être satisfait du changement de la politique intérieure en Angleterre. Je ne le suis guère de notre politique intérieure, de plus en plus réactionnaire, sans couleur de patriotisme. Il faut dire aussi que le conflit avec l’Allemagne a ranimé subitement le nationalisme mourant, et l’a inoculé à beaucoup de républicains dits modérés. Il faut souhaiter le succès de la révolution russe, car il affaiblira l’impérialisme allemand.

Nous espérons que vous vous portez bien, et que vous passez un joyeux Christmas dans votre « home ». Nous vous envoyons tous nos vœux, avec l’expression de nos sentiments les plus cordiaux.

<signed> Louis Couturat

Notes

^aLettre conservée aux Archives Russell, dactylographiée. Un double, non signé et incomplet (il s’arrête à : « je ne le suis guère de notre politique intérieure … ») se trouve dans le fond C. D. E. L. I., qui possède la correspondance. Il est écrit sur le double de la main de Couturat : « A Russell ». En marge sur l’original, de la main de Russell : « answered » (répondu). Comme toujours dans les lettres dactylographiées, il y a quelques petites coquilles tout à fait insignifiantes, corrigées à la main, que nous ne numérotons pas.