LOUIS COUTURAT TO BR, 16 APR. 1905
BRACERS 895. TLS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #167
Edited by A.-F. Schmid

Bois-le-Roi,
le 16 Avril 1905.^a

Cher Monsieur,

Je vous remercie de votre dernière lettre, et je suis parfaitement d’accord avec vous sur la question du principe d’induction. Si j’ai proposé d’appeler « principe d’induction » votre axiome 2.31, c’est, bien entendu, à la condition de retirer ce nom au postulat caractéristique des Nc finis, auquel il ne convient guère, car, comme vous le dites, il donne lieu à des « déductions » tout aussi valables que les autres. Cette appellation malencontreuse est peut-être la cause de l’erreur de M. Poincaré : tant les mots ont de pouvoir suggestif ! C’est pour cela qu’il importe de les bien choisir. Si l’on a appelé cette prop. « principe d’induction », c’est parce qu’on a cru qu’il permettait d’inférer du particulier au général ; mais puisqu’il n’en est rien, il n’y a plus de raison (sauf l’usage invétéré) pour lui conserver ce nom. Si l’on ne peut pas oser cela, je proposerais d’appeler vos deux principes 2.3 et 2.31 respectivement : « principe de particularisation » et « principe de généralisation ». Il est bon de donner ainsi des noms aux principes, pour l’usage pédagogique, et pour donner à la Logistique une forme classique. C’est ce que je tâche de faire dans mon « Manuel de Logistique ». Mais pour cela, il faut être sûr de ses théories, et j’ai encore bien des doutes qui m’arrêtent.

Pour le moment, je voudrais en finir avec « les Principes des mathématiques » pour les publier en volume. J’ai complété certains §§, par exemple celui de l’Analysis situs (que j’appelle décidément Topologie) au moyen de mes récentes lectures. Mais je suis amené, en révisant mes premiers articles, à me demander s’il ne conviendrait pas d’y parler de la théorie des ensembles et de la théorie des groupes. Je dis toujours que ces deux théories prouvent que la mathématique est fondée sur la logique ; il me semble donc naturel et nécessaire d’en dire quelque chose dans cet ouvrage, quand ce ne serait que pour apprendre ce que c’est aux lecteurs (que je dois supposer parfaitement ignorants en mathématiques). Or je m’aperçois que, en suivant votre plan, je n’en ai rien dit. Est-ce omission de votre part, ou avez-vous considéré ces théories comme impliquées tacitement dans vos principes ? Vous avez parlé des ensembles ordonnés, et indiqué les principes de leur théorie ; mais la théorie des ensembles pure et simple, où la placez-vous ? En un sens, elle rentre dans le calcul des classes, donc dans la logique ; mais en un autre sens, elle implique l’idée de position, et alors elle paraît dépendre des axiomes de la Géométrie. Quant à la théorie des groupes, je vois bien comment on peut la faire reposer sur la Logique des relations ; mais encore faut-il le montrer, vu la place fondamentale que cette théorie occupe de plus en plus dans les mathématiques modernes. Il me semble donc utile de compléter, non votre œuvre, mais la mienne, sur ces deux points ; mais avant d’ajouter ces deux chapitres, je tiendrais à savoir ce que vous en pensez, et si vous ne trouvez pas qu’ils soient déplacés dans un exposé dont le plan vient en somme de vous.

Je me suis remis ces jours-ci à lire votre mémoire de la Revue de Mathématique, t. VIII ; cette lecture est encore difficile pour moi, quoique moins qu’auparavant (je crois m’en être plaint à vous l’an dernier). Toutefois, je remarque ceci : la Logique des relations ne me paraît pas constituer un algorithme formel comme la Logique des P ou des Cls. Voici ce que je veux dire : dans cette dernière, il y a des règles formelles pour transformer les formules et les combiner pour ainsi dire mécaniquement ; cela n’existe pas dans la Logique des relations telle que vous la concevez : les transformations qu’on y opère sont toujours guidées et dictées par le sens des formules, elles ne font que traduire des raisonnements de bon sens, que le langage traduirait également, quoique avec moins d’exactitude et de précision. En un mot, votre logique des relations me paraît moins être un calcul qu’une notation, une sténographie logique. C’est d’ailleurs l’impression que m’a faite dès l’abord la notation de Peano, en tant qu’elle dépasse les bornes de la Logique de Schröder. Ce n’est pas, bien entendu, un reproche que j’adresse à vos notations ; car elles me paraissent appropriées au sujet. Mais cela me suggère un doute sur le sujet lui-même : il semble qu’il ne soit pas susceptible d’un traitement algébrique, mécanique, comme les P et les Cls, et c’est dommage, au point de vue de la commodité didactique. Je voudrais savoir si vous trouvez cette impression juste, ou si c’est une illusion qui provient de ce que je suis moins familier avec votre calcul qu’avec celui de Schröder et même de Peano. C’est une des raisons pour lesquelles je réserve le nom d’« Algèbre de la Logique » au système Boole-Schröder, et préfère le nom de Logistique pour le système « Peano-Russell », comme je dis, et comme dira sans doute l’histoire. — En y réfléchissant, je fais une remarque que je n’avais pas encore faite, et qui confirme mon impression : c’est que les principes de la Logique des relations ne sont pas, comme ceux de la Logique des P et des Cls, des types ou canons de transformation (tels que le principe de composition, le Syllogisme, etc.). Je pense que cela vous fera bien comprendre ce que je veux dire, quand même ce ne serait pas juste.

Je comprends que vous avez besoin de toute votre concentration d’esprit pour élaborer votre système, et que vous ne pouvez pas vous disperser en lectures variées ; je connais par expérience cet état d’esprit presque ascétique, qui suppose une grande force de volonté. Je serais heureux d’apprendre que vous êtes venu à bout de la « contradiction » ; je n’en parle pas dans mon livre, pour ne pas embrouiller le lecteur et le rendre sceptique ; car je crois que cette contradiction ne se présente pas dans le domaine élémentaire où je me confine, et ne vient que de la généralité et de la complication de vos notations. Mais vous avez peut-être remarqué que M. Hilbert (qui paraît cependant assez peu au courant de la Logistique) y fait allusion dans son mémoire de Heidelberg, avec l’intention d’infirmer ce genre de recherches. Je crains, entre nous, qu’un des adversaires de la Logistique ; sans se donner la peine d’étudier sérieusement cette doctrine, ne s’empare de la « contradiction » pour la discréditer. J’avoue que je serais assez embarrassé pour répondre à une telle objection, qui serait dangereuse aux yeux du public profane : « Comment, dirait-on, voici des gens qui prétendent réformer la Logique classique et lui donner des fondements rigoureux, et ils admettent une contradiction au sein même de leurs principes ! » Cette objection éristique me paraît peu sérieuse, mais c’est un peu par un acte de foi dans la raison, ce qui est ennuyeux. Quel échec du rationalisme, si cette contradiction était fondamentale et incurable ! Et quelle revanche pour Kant, dont les antinomies ne sont que jeu d’enfants à côté !

Je crains que votre santé ne souffre à la longue de la perpétuelle contention d’esprit où vous vivez, et je vous engage fort à prendre quelque distraction et quelque repos cette année au moment que vous jugerez favorable. Sans plaider la cause de Fontainebleau, puisque vous le connaissez déjà, il y a tant de jolis coins en France, dans le Morvan par exemple. Cela me procurerait l’occasion de vous voir. En attendant, et dans cet espoir, je vous prie de croire, cher Monsieur, à mes sentiments les plus cordiaux.

<signed> Louis Couturat

Notes

^aLettre conservée aux Archives Russell, tapée à la machine.