BR TO LOUIS COUTURAT, 7 DEC. 1905
BRACERS 53271. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #191, 192, 193
Edited by A.-F. Schmid

Bagley Wood,
Oxford.,
7 décembre 1905.

Cher Monsieur,

J’ai à répondre à deux de vos lettres, pour lesquelles je vous remercie. Les doubles virgules en haut servent à faire le pluriellea. Si φ‘x ou φ^;x a une signification quelconque, φ‘‘u φ^;;u ou sera la classe qu’on obtient en prenant φ‘x pour tout valeur de x pour laquelle x ε u. Nous avons trouvé par la pratique qu’il n’est pas prudent de mettre tout simplement φx pour le singulier, et φ‘x ou φ^;x pour le plurielle.^a A la longue, l’usage que nous avons adopté nous a paru de beaucoup les plus commode.

Je suis bien aise que vous approuvez l’article « On Denoting ». Je crois qu’il est très important ; non seulement à cause de la solution des difficultés signalées dans l’article même, mais aussi parce que je suis arrivé, en poursuivant la même méthode, à ma présente solution de la contradiction. La principe fondamentale,^b c’est qu’une phrase peut n’avoir aucun sens dans l’isolation, quoiqu’elle ait un sens parfaitement défini quand elle se trouve dans une prop. Ceci s’applique en premier lieu à des phrases comme « tout homme » ; « tout homme est mortel » devient « x est un homme ⸧_x x est mortel ». De même pour ℩‘u. On ne définit pas ℩‘u, mais φ!℩‘u, où φ!x est une fonction propositionnelle quelconque. On met

φ!℩‘u . = : (Ǝc) : x ε u . ≡_x . x = c : φ!c Df

Donc ⊢ : u ~ ε 1 . ⸧ . (φ) . (~ φ)! = ℩‘u.

[On n’a pas (~ φ)!℩‘u = ~ {φ!℩‘u}] ]

[En général, φ, ψ, ℩‘u, dans φ!ψ!℩‘u n’obéissent pas à la loi associative.]

℩‘u dans l’isolement sera un non sens ; voilà l’essentiel.

L’article de M. Poincaré n’est pas grand’chose. Je vous envoie des notes sur son compte, dans le cas qu’elles puissent faciliter votre réponse. Mais il n’y aura pas lieuc d’en parler dans votre réponse, puisque ce ne sont que des remarques très évidentes. Vous avez raison de dire qu’il est bon de s’entendre autant que possible avec les autres logisticiens ; mais vous ne pourrez guère répondre à ce qu’il dit au sujet de l’induction complète sans rejeter la définition par postulats.

J’approuve fort l’esquisse que vous me donnez de votre leçon d’ouverture, qui sera certainement admirable. — Je n’ai pas besoin du MS que je vous ai envoyé ; du reste, la notation est provisoire.

Pour Petronievics, l’espace dont je parlais est l’espace de Fano (voir Principles, p. 385, n). C’est un espace projectif à trois dimensions, dans lequel il n’y a que trois points sur chaque ligne, et chacun des trois est son propre harmonique par rapport aux deux autres. Petronievics se trouve encore dans la deuxième période, la période métrique. C’est pour cela qu’il croit qu’un espace non-euclidien doit être krumm. Mais il ne vaut guère la peine de se disputer sur les mots.

Si M. Burali-Forti m’écrit au sujet de la contradiction, je lui donnerai volontiers une esquisse de ma solution. Cette fois, je crois l’avoir vraiment trouvée ; mais je me suis trompé tant de fois que la certitude ne me vient pas facilement.

Recevez, cher Monsieur, avec mes meilleurs souhaits pour demain, l’assurance de mes sentiments cordiaux et dévoués.

Bertrand Russell.

Notes

^a-bSic ^c[dans] ^d[est]{et}

[Notes envoyées en accompagnement de la lettre de Russell du R 07.12.05]

[192] Notes on Poincaré, RMM Nov. ’05

p. 818. The principle of induction as here stated has the defect of being false. $\aleph_0$ is a whole number ; but it has the property that a class of $\aleph_0$ numbers contains a part similar to itself, while does not belong to 1, and does not belong to n + 1 if it does not belong to n. If mathematics depends on the principle here stated, its theorems may occasionally be true by accident, but we can have no reason for believing them.

p. 819. Definitions by postulates are always to be transformed into nominal definitions before they can be admitted. This is not always possible ; when it is not, the definition by postulates is wrong substantially as well as formally. This point is relevant in answering P’s criticisms as to existence of induction.

p. 821 (and again p. 830). The accusation of circularity in Definitions of numbers rests on supposing that when a proposition contains two constituents, it cannot be enunciated without presupposition that we know what two is, and so on. Take e. g. the Df. of 1, which is as follows : « 1 is the class of all classes u which are such that the proposition « “x is a u” is equivalent, for all values of x, to “x is identical with c” » is not false for all values of c. » Here « x is a u » may be supposed involve one in the indefinite article ; but this phrase is defined as a whole, as follows : « x is a u » means « “φ(x) is true, and u^a has to φ the relation of defined class to defining property” is not false for all values of φ ». It is doubtless true that the various entities occurring in such definitions are each one, or rather that the class of which one of them is the only constituent is a unit class. But this fact is not presupposed in the definition.

p. 823. The circle as regard 0 and Ʌ is easily avoided. Put

Ʌ = ??{~ (x ⸧ x)} Df      0 = ι‘Ʌ Df

It is unwise to put Ʌ = ℩‘??{~ (Ǝx) . x ε u} Df

p. 825. « La pasigraphie ne nous préserve pas de l’erreur. Pourquoi ? Est-ce parce que les règles de la logique sont trompeuses ? Évidemment non. » It should be « Évidemment oui ». It is plain to me that the hitherto current logical assumptions are erroneous.

p. 833. The definition of finite numbers [M. Poincaré keeps on forgetting that there are infinite numbers] must not be effected by postulates, but nominally. I. e. « x is a finite number » is to mean « 0 ε s : n ε s . ⸧_n . n + 1 ε s : ⸧_s . x ε s ». This defines a class of x’s satisfying the definition ; the class is not null, for we have 0 ε s : n ε s . ⸧_n . n + 1 ε s : ⸧_s . 0 ε s,^b whence 0 is a member of the class. Hence 1, 2, 3, … are members of it. This is the demonstration of existence.

p. 835. That every number can be obtained by additions of 1 starting from 0, is a proposition equivalent to mathematical induction ; this appears by examining what we mean when we say it can be obtained by additions of 1. We plainly mean, in this case, a finite number of additions of 1, and thus we have to bring in the definition of finite number by induction in order to explain what we mean. If an infinite number of additions were permitted, the statement would be false.

Further note on p. 825.

The reason things go wrong is that the indemonstrables from which we start are wrong. These are vouched for by intuition (as M. Poincaré rights urges), not by pasigraphy. Thus intuition is the offender, not pasigraphy. I have constructed a different set of indemonstrables, from which, so far as I can discover, pasigraphy will not elicit any contradiction.

Notes

^a[consists of all] dans cette formule, devant n ε s, Russell a d’abord écrit et barré ~ Ǝ.

[193] Notes on Poincaré’s 2nd article.

N° XXVI. Couturat’s remark quoted here is incautious. It does not hold of any theorem in the proof of which $\aleph_0$ occurs. P’s remarks in XXVII are absurd : instance of use of 3 dimensions in proving the uniqueness of the harmonic conjugate in projective geometry [quadrilateral construction].

N° XXVIII. P’s remarks on geometrical existence-theorems are sound. The answer to all this is that there is not the slightest reason for wishing to avoid mathematical induction, since its use does not constitute an appeal to intuition.

N° XXIX. All this talk about the N^th syllogism is nonsense. We don’t count syllogisms, or prove that if the passage to the n^th syllogism does not take us to a contradiction, the passage to the (N + 1)^th does not.

N° XXXI. « Nous avons beaucoup à y apprendre ». Evidently.

N° XXVI (end). Whatever is known to be true in the theory of aggregates is proved without appeal to intuition. The appeal to intuition is only useful for helping lazy people to believe what is doubtful. As for the contradictions, I have solved them.

It is a pity Poincaré has not read Whitehead on Cardinals, Amer. J. XXIV [the Dfs. of 1, 2, 3 given there are faulty ; they wrongly omit existence.]

Sketch of theory of finite and infinite

Nc‘u = ??{(ƎR) . R ε 1 → 1 . D‘R = u . $\breve {D}$‘R = v} Df

α + 1 = ??{(Ǝu, x) . Nc‘u = α . x ~ ε u . v = u ∪ ι‘x} Df

Ʌ = ??(x ≠ x) Df

0 = ι‘Ʌ Df

1 = ??{(Ǝc) : x ε u . ≡_x . x = c} Df

⊢ . 1 = 0 + 1 [Easily proved]

Ncfin = ??{0 ε s : m ε s . ⸧_m . m + 1 ε s : ⸧_s n ε s} Df

⊢ . 0 ε Ncfin

Dem.

⊢ :. 0 ε s : m ε s . ⸧_m . m + 1 ε s : ⸧_s . 0 ε s ⸫ ⸧ ⊢ . Prop

⊢ . Ǝ!Ncfin ⊢ . 1 ε Ncfin [⊢ . 1 = 0 + 1 . ⸧ ⊢ . Prop ]

In this way, any given number which is finite can be proved finite. The non-contradictoriness of the Df of Ncfin follows from the fact that 0, 1, … are members of Ncfin.

All this is easily translated into the language of the new substitutional theory. If people object to 0, we can put 1 for 0 in the Df of Ncfin ; then 1, 2,.. ε Ncfin and things proceed as before.