BR TO LOUIS COUTURAT, 25 SEPT. 1905
BRACERS 53265. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #182
Edited by A.-F. Schmid

Lower Copse
Bagley Wood
Oxford.
24 septembre 1905

Cher Monsieur,

J’ai été heureux d’apprendre que le congrès des Espérantistes a si bien réussi. Je suis d’accord avec vous en croyant que le progrès de la L. I. est d’une grande importance pour les progrès intellectuels du genre humain ; probablement, aussi, pour la diminution des antipathies nationales. Ce n’est pas étonnant que le Times soit défavorable : il s’oppose sans exceptions à tout ce qui est bon.

Je suis bien aise d’apprendre que vous allez réimprimer vos « Principes ». Ce sera un livre très utile, qui fera certainement beaucoup pour répandre l’étude de la logistique.

Quant à Kempe, je suis entièrement de votre opinion. Il me paraît que lui et Royce se sont laissé^a prendre à une analogie formelle, d’ordre algébrique, entre le calcul géométrique et le calcul logique, en oubliant que le calcul logique sert nécessairement de base à tout autre calcul, puisqu’il s’occupe de déduction, et que les autres calculs emploient^b la déduction. C’est pour cette raison que la logique de l’implication doit toujours se trouver en tête de tout système déductif, et qu’elle doit toujours être plus qu’une espèce des algèbres possibles, quelles que soient les analogies formelles qu’on découvre par la suite.

Mais en ce qui concerne la géométrie seule, je trouve maintenant qu’il a raison de baser le tout sur la seule relation entre. Ce point de vue a été développé par Veblen : Whitehead en a fait une extension qui me paraît très importante, dans laquelle il a montré qu’on peut énoncer la théorie relativiste de l’espace d’une manière qui n’est pas contradictoire. Il a fait là-dessus un long mémoire, qui paraîtra probablement dans les Proc. Royal Soc. Je n’ai pas encore lu Royce.

Quant à mes travaux personels,^c je me suis mis dernièrement à considérer la contradiction de Burali-Forti. J’ai trouvé la généralisation que voici : Soit φ!x une propriété (fonction propositionelle) quelconque, qui appartient toujours à f ‘u (où f ‘u est une fonction quelconque de la classe u) quand elle appartient à tous les termes de u ; et supposons qu’on ait toujours f ‘u ~ ε u dans les mêmes circonstances. Qu’on considère alors la classe ??(φ!x) . On trouvera φ!f ‘??(φ!x) . f ‘??(φ!x) ~ ε ??(φ!x), ce qui est une contradiction.

Formellement, mettons

φ!!u . = : x ε u . ⸧_x . φx Df  [Je mets également φ!?u . = . (Ǝx) . x ε u . φ!x Df ]

On aura alors

⊢ :. φ!!u . ⸧_u . φ!f ‘u . f ‘u ~ ε u : ⸧ . φ!f ‘??(φ!x) . f ‘??(φ!x) ~ ??(φ!x)

Dans le cas de Burali-Forti φ!x . = . x est un nombre ordinal, et f ‘u = successeur de la classe u. On a donc : Le successeur de la classe entière de nombres ordinaux est un nombre ordinal, mais il n’est pas un membre de la classe des nombres ordinaux. Ce qui est intéressant, c’est que toutes les contradictions paraissent être des cas particuliers de (A). P. ex. mettons

φ!x . = . x ~ ε x : f ‘x = x. On a ⊢ :. u ε u . ⸧ . (Ǝx) . x ε u; (u = x) donc par Transp, x ε u . ⸧_x . x ~ ε x : ⸧ . u ~ ε u, c. à d. φ!!u . ⸧ . φ!u. Et dans ce cas φ!u . = . f ‘u ~ ε u. Donc la prémisse de (A) se trouve vérifiée, et on déduit la contradiction habituelled. En voici un exemple très analogue à B-F : Mettons

No_˄!x = :. φ!Ʌ : φ!p . ⸧_p . φ!(p ∪ ι‘p) : φ!!u . ⸧_u . φ! ∪ ‘u : ⸧_φ . φ!p Df

On trouve facilement No_˄! ∪ ‘No_˄ . ∪ ‘No_˄ ~ ε ??(No_˄!x). Ici dans la formule (A) il faut substituer No_˄!x à φ!x, et suc‘u à f ‘u, où

suc‘u = ℩‘??[∪ ‘u ε u . ⸧ . p = ∪ ‘u ∪ ι‘ ∪ ‘u : ∪ ‘u ~ ε u . ⸧ . p = ∪ ‘u] Df

Si on met ι‘f ‘p à la place de ι‘p, on trouve une contradiction analogue. Ce que j’en conclue,^e c’est que les fonctions φ telles que (Ǝf ) : φ!!u . ⸧u . φ!f ‘u . f ‘u ~ ε u ne définissent pas de classe, c. à d. ??(φ!x) est vide de sens. Cette conclusion rend douteux tous les arguments de Cantor et de ses disciples. Mais on trouvera sans doute des conditions sous lesquelles ces arguments retiennent leur force. Dans le moment, c’est inquiétant, puisque l’induction généralisée se trouve révoquée en question.

Recevez, cher Monsieur, l’expression de mes sentiments très cordiaux.

Bertrand Russell

Notes

^a-csic ^d[familière] ^esic