BR TO LOUIS COUTURAT, 4 JULY 1905
BRACERS 53256. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #172
Edited by A.-F. Schmid

Bagley Wood,
Oxford,
4 juillet 1905.

Cher Monsieur,

C’est avec un vif regret que j’ai appris qu’il était impossible pour vous et Madame Couturat de venir en Angleterre cet été. J’espère qu’il vous sera possible de venir l’année prochaine, ou que je pourrai venir vous voir en France pendant l’automne.

La question est de savoir sous quelles conditions on a

k ε Cls²Excl . u ε k . ⸧_u . Ǝ‘u : ⸧ . Ǝ‘ בk

où בk = ??{p ⸦ ∪‘k : u ε k . ⸧_u . p ∩ u ε 1} Df

est importante, mais elle n’a pas la portée de la question de savoir comment résoudre la contradiction. La contradiction faisait chanceler les bases du raisonnement, et rendait doûteuses^a toute déduction. Mais la question de Ǝ‘ בk [je la désigne ainsi pour épargner les symboles] n’est pas fondamentale ; on peut y appliquer les formes de raisonnement qu’on possède déjà, et il est permis d’espérer qu’on en trouvera ainsi qu’une solution plus ou moins complète. Il se peut donc qu’on puisse identifier les deux Df de l’infini ; je dis seulement que la démonstration connue de ce théorème n’est pas complète. Ce qu’on ne prouve pas, c’est que, si

k ε Cls² . u ε k . ⸧_u . (Ǝα) . α ε $\overleftarrow {N}$*‘0 . u ⸦ α Ǝ‘u            ε ?

il faut qu’on ait aussi Ǝ‘ בk.

[$\overleftarrow {N}$*‘0 est la classe des Nc qu’on obtient par induction en partant de 0.]

On a, dans le cas supposé, p ε בk . ⸧_p . ∪‘p ε α₀

Donc Ǝ‘ בk . ⸧ . Ǝ‘α₀ ∩ Cls‘ ∪ ‘k.

On a aussi w ε Cls . Nc‘w ~ ε $\overleftarrow {N}$*‘0 . ⸧ : α ε $\overleftarrow {N}$*‘0 . ⸧_α . Ǝ‘(α ∩ Cls‘w).

Donc, en mettant k = ??{(Ǝα) . α ε $\overleftarrow {N}$*‘0 . u = α ∩ Cls‘w} , on a

Ǝ‘ בk . ⸧ . Ǝ‘(α₀ ∩ Cls‘w)

Aussi w ε Cls infin . ≡ . Ǝ‘(α₀ ∩ Cls‘w)

où Cls infin est défini par

Cls infin = ??{(ƎS) . S ε 1 → 1 . D‘S = u . $\breve {D}$‘S ⸦ u . Ǝ‘(D‘S − $\breve {D}$‘S)} Df

Donc, tout ce qu’il faut pour identifier les deux Df, c’est Ǝ‘ בk dans le cas considéré ci-dessus. Il est possible que ceci puisse se démontrer ; je dis seulement que je ne sais pas comment cela se fait.

Je ne crois pas que votre œuvre soit téméraire. Certes, nous n’arriverons pas de nos jours à mettre la logique symbolique sous une forme définitive. Mais il faut qu’on explique les étapes, pour qu’il y ait quelqu’un qui y prenne intérêt. Sans cela, personne ne travaillera à résoudre les difficultés, ce qui, pourtant, est ce qu’il y a de plus nécessaire dans le moment pour le progrès de la logique et de la philosophie.

Je pense réétablir^b la négation comme idée primitive, en mettant

p . q . = . ~ ‘(p ⸧ ~ ‘q) Df,

p ˅ q . = . ~ ‘p ⸧ q Df

et en remplaçant Red par

⊢ : p ⸧ ~ ‘q . ⸧ . q ⸧ ~ ‘p Pp

⊢ : ~ ‘p ⸧ q . ⸧ . ~ ‘q ⸧ p Pp

Ceci simplifie le commencement énormément. Mais je le fais parce qu’il me semble qu’on doit pouvoir dire qu’une Prop est fausse ; ce que je ne puis jamais dire dans mon système. On prouve ~ ‘(p . ~ ‘p) ; mais on ne prouve jamais que (p . ~ ‘p) est fausse. Un lecteur assez crédule pour accepter (s) . s comme vraie ne trouverait rien dans mon système pour lui montrer son erreur.

C’est seulement de Bôcher et Royce que j’ai appris à connaître les écrits de Kempe. Je les trouve bons, mais je ne vois pas ce que j’ai à apprendre d’eux. Ils sont bons à cause de leur date ; mais je ne sais pas dans quel point j’aurais dû modifier mes théories à cause des siennes. Je suis en correspondance avec Bôcher ; il nie l’existence des classes, et c’est à cause de cela (apparemment) qu’il croit que je n’ai pas démontré l’existence des entiers. C’est là une question philosophique, qu’on peut discuter sans fin. Oui, je crois dans un sens que la mathématique se définit par sa matière aussi bien que par sa forme ; c’est à dire, les constantes doivent être des constantes logiques, mais les variables prennent toutes les valeurs qu’il y a, de sorte que, si on comprend les variables dans la matière, la mathématique n’est pas restreinte à telle ou telle matière. L’idée d’une Df par la forme seule est un peu vague ; je crois que si on la précise, on arrive à ma Df. Car on suppose une forme ou bien constante, ou bien définissable en termes de certaines constantes. Il y a donc ce qu’on peut appeler la matière de la forme même ; cette matière, c’est les constantes logiques. L’idée de forme constante s’oppose à celle de matière variable ; donc elle s’applique aux fonctions. Dire alors que la forme est constante, c’est dire que les constantes sont d’une nature qu’on peut préciser d’avance ; et c’est là juste ce que je dis. Mais l’idée de matière et de forme est trop aristotélicienne pour être précise.

Au sujet de Kempe, je^c viens de chercher partout ses opuscules, mais il paraît que je les ai perdues.^d Je crois qu’au sujet de la géométrie il fait tout par le moyen de « b est entre a et c », comme Veblen ; cette méthode a certains avantages.

Que signifie : « Définir par la méthode » ? Prennez^e par exemple la logique de l’implication. Sous un point de vue, c’est la théorie de la méthode de la déduction ; sous un autre, c’est la théorie de l’implication, ce qui ressemble à une Df par la matière. Du moment qu’il s’agit d’une relation constante ou d’une fonction constante, la distinction entre la méthode et la matière perd toute exactitude.

Royce est assez habile pour un philosophe, mais il pense qu’on peut faire des systèmes dans le gros, sans examiner minutieusement chaque partie, et c’est ce que mon expérience ne me permet pas de croire.

J’aimerais bien voir le prospectus d’Americana. Ce que vous dîtes^f au sujet de l’esprit yankee est amusant et fort juste.

Recevez, cher Monsieur, avec mes regrets de ne pas pouvoir vous recevoir ici, les expressions de ma cordiale sympathie.

Bertrand Russell.

Notes

^a-bsic ^crature ^d-fsic