BR TO LOUIS COUTURAT, 26 APR. 1905
BRACERS 53252. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #168
Edited by A.-F. Schmid

Lower Copse
Bagley Wood
Oxford.
26 avril 1905.

Cher Monsieur,

J’approuve fort les noms « principe^a de particularisation » et « principe de généralisation » pour mes principes * 2.3.31. On réservera alors le nom de « principe de substitution » pour * 2.2. Je crois que l’usage invétéré^b rend impossible^c le changement du nom du « principe d’induction » ; c’est seulement pour cette raison que je crois bon de le retenir.

Vous ferez bien, je crois, de dire quelque chose sur la théorie des groupes et la théorie des ensembles. Pour les groupes, je n’en ai rien dit parce qu’elles se trouvent déjà dans la forme qu’il me faut. On a

Groupe=

??[k ε Cls‘1 → 1 : R ε k . ⸧_R . $\breve {R}$ ε k : R, S ε k . ⸧_R,S . D‘R = D‘S . R/S ε k] Df

où R/S est le produit relatif. Je crois avoir donné cette Df dans RdM VII. Pour la théorie des ensembles, je ne sais pas pourquoi vous dîtes^d que je n’en traite pas. Les parties compliquées de cette théorie sont trop peu élémentaires pour mon but ; les commencements de la théorie se trouvent dans ma V^me partie. Il était seulement nécessaire pour moi de frayer un chemin de la logique aux travaux de Cantor ; et ceci, je crois l’avoir fait. Je ne comprends pas bien ce que signifie dans votre lettre la phrase « théorie des ensembles pure et simple ». Il y a la théorie des classes, des nombres cardinaux, des séries, etc. ; mais un ensemble « pur et simple » n’est autre chose qu’une classe.

Mon article dans RdM. VIII est beaucoup plus difficile que ne le sera le T. II, parce que j’ai trop abrégé les Dem., et la notation n’est pas aussi bonne que celle que j’emploie à présent. Quant à l’absence d’un algorithme, ceci tient aussi à la nouveauté de la théorie au temps où j’ai écrit ces deux articles. Vous vous rappellerez^e que ma première lecture de Peano a commencé à Paris en 1900, que j’ai écrit mon premier mémoire cette même année, et mon second dans le printemps de 1901. A présent l’algorithme des relations se trouve complètement formel. Je traite maintenant des nombres cardinaux avant d’introduire les relations, en mettant

Nc‘u = ??{(Ǝf ) : v = f ‘‘u : x, y ε u . f ‘x = f ‘y . ⸧_x,y . x = y} Df

[Vous savez que f ‘‘u = ??{(Ǝx) . x ε u . z = f ‘x} Df ⁽¹⁾]. Alors j’ai ce qui suit :

* 100 ??( f ‘$\hat {x}$)⁽²⁾est un indéfinissable, représentant la corrélation de x et de f ‘x pour toute valeur de x. Donc ??{??φ($\hat {x}$, $\hat {y}$)} est apte a représenter une relation en extension, qui est ce qu’il nous faut si l’on veut pouvoir énumérer les relations remplissant telle ou telle condition. J’ai

* 100.11 ⊢ : (x) . f ‘x = g‘x . ≡ . ??( f ‘$\hat {x}$) = ??(g‘$\hat {x}$) Pp

* 100.2 Rel = $\breve {R}$[(Ǝφ) . R = ??{φ(($\hat {x}$, $\hat {y}$)}] Df ⁽²⁾

* 100.21 xRy . = . (Ǝφ) . R = ??{φ($\hat {x}$, $\hat {y}$)} . φ(x, y) Df

Dans * 101, * 102, on a les analogues des Props. pour les classes, p. ex.

* 101.2 R $\dot {\cap}$ S = ??(xRy . xSy) Df

* 101.31 ∸‘R = ??{~‘(xRy)} Df

* 102.01 $\dot {V}$ = ??(x ⸧ x . y ⸧ y) Df

* 102.02 $\dot {Ʌ}$ = ∸‘ $\dot {V}$ Df

Alors on a les nouveautés pour les relations.

* 103.1 Cnv‘R = $\breve {R}$ = ??(yRx) Df

* 104.1 $\overrightarrow {R}$‘x = ??(yRx) Df

* 104.11 $\overleftarrow {R}$‘x = ??(xRy) Df

Il s’ensuit qu’on a ∪‘$\overrightarrow {R}$‘‘u , ∪‘$\overleftarrow {R}$‘‘u pour ce qui était ρu, $\breve {ρ}$u, notation qui était en conflit avec ρx, $\breve {ρ}$x.

* 104.12 D‘R = ??{(Ǝy) . xRy} Df

* 104.13 $\breve {D}$‘R = ??{(Ǝx) . xRy} Df

* 104.14 C‘R = D‘R ∪ $\breve {D}$‘R Df

Le numéro 104 contient plus que 70 props, par ex.

* 104.63 ⊢ . ∩‘$\overrightarrow {R}$‘‘(u ∪ v) = (∩‘$\overrightarrow {R}$‘‘u) ∩ (∩‘$\overrightarrow {R}$‘‘v)^g

Cette espèce de Prop est implicite dans les raisonnements de RdM VII, VIII ; c’est pour cela que j’étais difficile dans ces articles.

*105.1 R/S = ??{(Ǝy) . xRy . ySz} Df

* 106.1 𝔍 = ??(x = y) Df

* 106.11 J = ∸‘𝔍 Df

* 111.4 $\dot {\cap}$‘k = ??(R ε k . ⸧_R . xRy) Df

* 111.6 $\dot {∪}$‘k = ??{(ƎR) . R ε k . xRy} Df

* 112.009 u ↿ R ↾ v = ??(x ε u . y ε v . xRy) Df

* 112.03 u ↿ R = ??(x ε u . xRy)

* 112.82 u ↑ v = u ↿ $\dot {V}$ ↾ v Df etc. etc.

Ceci se fait sans nouvelle Pp. Il en résulte un algorithme tout aussi formel que celui des classes, mais bien plus compliqué, puisqu’il contient les analogues de toutes les Prop. pour les classes, et une foule de Props. qui n’ont aucune analogue parmi les classes. En raisonnant, je trouve qu’on n’a jamais besoin de penser à la signification des formules ; on les transforme mécaniquement, comme en algèbre. Mais la complication est telle qu’il faut s’y habituer longtemps pour pouvoir manier rapidement les formules.

J’espère venir à bout de la « contradiction » ; je fais des progrès, quoiqu’ils soient assez lents. Si on l’emploie pour discréditer la logistique, vous n’avez qu’à demander à votre adversaire comment il propose de la résoudre. Elle ne dépend nullement d’aucun axiome que les logiciens arrièrés^h ont l’habitude de nier ; la logistique a servi à la découvrir, et servira sans doute à la résoudre ; mais la contradiction ne dépend pas des symboles, puisqu’elle résulte de principes que le sens commun a accepté sans hésitation depuis le temps d’Aristote au plus tard. Je ne crains nullement qu’elle soit « fondamentale et incurable » ; je crains seulement qu’on n’essaie pas de la résoudre, à cause du penchant des philosophes pour tout ce qui est contraire à la raison.

Je viens de lire Zermelo dans Math. Ann. 59. En voici les points salientsⁱ traduits en symboles : Le théorème à démontrer est C‘‘Ω = Cls [Ω a le même sens que dans RdM VIII]. On met

Mult‘w = ??{R ε Nc → 1 . D‘R = cls‘w – ι‘Ʌ : uRx . ⸧_u,x . x ε u} Df

Ω(R, w) = ??{R ε mult‘w . P ε Ω C‘P ⸦ w : x ε C‘P . ⸧_x . (w −$\overrightarrow {P}$‘x)Rx} Df

[On a donc : ⊢ : R ~ ε Mult‘w . ⸧ . Ω(R, w) = Ʌ]

S_R,w = $\dot {∪}$‘Ω(R, w) Df. On démontre alors ⊢ : R ε Mult‘w . ⸧ . Ǝ‘Ω(R, w)

⊢ : P ε Ω(r, w) . ⸧ . P = S_R,w ↾ $\breve {D}$‘P [Ici on emploie la notation Q ↾ u = ??(xQy . y ε u) Df ]

⊢ : R ε Mult‘w . ⸧ . S_R,w ε Ω(R, w)

⊢ : R ε Mult‘w . w ε Cls . ⸧ . w = C‘S_R,w

⊢ : Ǝ‘Mult‘w . w ε Cls . ⸧ . w ε C‘‘Ω

Zermelo affirme qu’on peut prendre Ǝ‘Mult‘w comme axiome. C’est là une forme de l’axiome dont on a besoin pour démontrer

k ε Cls² Excl . Ʌ‘Ǝ‘‘k . ⸧ . Ǝ‘ בk,

(בk est ce que Whitehead a appelé k^× dans l’Amer. J. of Math.)^j

théorème sans lequel une grande partie de l’arithmétique cardinale est impossible. Je m’occupe depuis longtemps de ce théorème ; je ne sais pas s’il est vrai ou faux, et je le trouve trop compliqué pour une Pp. Pour voir l’analogie des deux cas, observez ceci :

⊢ ⸫ k ε Cls‘Excl . Ʌ‘Ǝ‘‘k . R ε Nc → 1 . D‘R = k : uRx . ⸧_x,u . x ε u : ⸧ . $\breve {D}$‘R ε בk

⊢ : Mlt‘k = ??{R ε Nc → 1 . D‘R = k : uRx . ⸧_u,x . x ε u} . k ε Cls‘Excl . Ʌ‘Ǝ‘‘k . ⸧ . בk . = . $\breve {D}$‘‘Mlt‘k

L’analogie de Mlt‘k avec Mult‘w est évidente. On pourrait déduire tout ce dont on a besoin de l’axiome

(Ǝf ) : Ǝ‘u . ⸧ . f ‘u ε u Pp ?

Mais je ne sais pas si cet axiome est vrai. Je ne trouve aucun paralogisme dans le raisonnement de Zermelo, et je trouve que le résultat qu’il démontre est fort intéressant; mais ce n’est pas  C‘‘Ω = Cls puisqu’on ne doit guère admettre un axiome si compliqué et si douteux. Je vois que Bernstein (Math. Ann. 60, Heft 2) dit qu’il peut se passer de cet axiome, mais je n’ai pas encore vu le mémoire auquel il renvoie le lecteur. Le principe que, étant donné une classe non nulle de classes non nulles qui s’excluent l’une l’autre, on peut prendre un terme dans chacune pour former une nouvelle classe, est^k d’un usage constant. J’ai cru d’abordl pouvoir le démontrer quand on peut bien ordonner chacune des classes, car alors on pourrait prendre le premier terme de chacune d’elles. Mais pour ceci il faudrait choisir, pour chaque classe, une des relations dont elle est le champ. On emploie donc, pour ces relations, le même principe que celui qu’il fallait démontrer. En symboles,

⊢ :. k ⸦ C‘‘Ω k ε Cls‘Excl : A = ??{(Ǝp) : p ε k . u = ??(Q ε ΩC‘Q = p)} : s ε בA :

w = ??{(ƎQ) . Q ε s . x = ℩‘(D‘Q − $\breve {D}$‘Q)} : ⸧ . w ε בk

Mais on ne peut déduire Ǝ‘ × ‘A; donc on ne peut déduire Ǝ‘ בk

Les symboles ne servent pas seulement pour simplifier, mais aussi pour relever les complications cachées.

Je voudrais bien venir en France, mais je ne crois pas que j’y parviendrai cette année. Me voici établi dans une nouvelle maison que je me suis fait bâtir, et je compte travailler tout l’été. Pourquoi ne viendriez-vous pas nous y visiter avec Madame Couturat ? Cela nous ferait un grand plaisir. Je vous prie de croire, cher Monsieur, à mes sentiments les plus cordiaux.

Bertrand Russell.

(1) En lisant f ‘x = « le f de x », on a f ‘u = « les f des u ».

(2) J’emploif $\hat {x}$ comme Frege emploie les lettres grecques.

Notes

^a[s] ^b[le] ^c[l’] ^d-fSic ^gRussell avait d’abord écrit le dernier membre de la formule : ∪‘$\overrightarrow {R}$‘‘v ^c-h-isic ^jla parenthèse est en marge ^k[et] ^l{d’abord}