LOUIS COUTURAT TO BR, 29 JULY 1904
BRACERS 53241. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #145
Edited by A.-F. Schmid

Villa Graziella, Bois le Roi
29 juillet 1904.

Cher Monsieur,

Je vous remercie de votre aimable et instructive réponse. Pour Pasch, je vois bien ce qui gêne et complique son exposé, c’est sa conception empiriste (de la droite finie, du plan fini). Je ne comprends même pas comment, avec ses principes empiristes (comportant le minimum perceptible) il peut définir le continu. Quoi qu’il en soit, je me suis servi, pour la Géométrie descriptive, de Peano, de Vailati et de vous. Je vous suis également pour l’introduction des éléments idéaux. — Je profiterai de votre permission pour garder les Outlines quelques jours encore, car en ce moment je suis plongé dans la Géométrie.

— Je me trouve en présence de questions fort difficiles au sujet des dimensions. Vous dites que le nombre des dimensions est un nombre ordinal (§ 355, fin), et en effet votre définition des dimensions implique un ordre. Mais comment passez-vous de là à la notion de dimensions permutables (interchangeables) ? Je ne le vois pas. Voici sous quelle forme se présente la difficulté pour une surface. Une surface est une série V de séries u₁u₂ … de points. Mais elle peut être aussi conçue comme une séries v₁v₂ … qui coupent les u. Comment passer de là à la conception d’une surface comme ensemble de deux faisceaux u et v entrecroisés ? Qui nous dit que la série U et la série V contiennent les mêmes points ? Je vois bien que la série U est semblable aux séries u (et V aux séries v) mais elle en diffère néanmoins, puisqu’elle est une série de lignes, et que les u sont des séries de points.

Voici maintenant une autre question. Les continus d’un nombre quelconque de dimensions sont équivalents (ont même nombre cardinal) ; donc ce qui les distingue, au point de vue des dimensions, c’est leurs propriétés ordinales ou de situation. Et en effet, on a prouvé qu’entre 2 continus d’un nombre différent de dimensions il ne peut y avoir une correspondance à la fois biunivoque et continue (v. R.d.M. t. II, p. 103). Quelles sont donc les propriétés qui font qu’une surface n’est pas une ligne ? Nous retombons sur la question précédente. Je crois trouver une réponse dans un mémoire d’Enriques dont je crois vous avoir déjà parlé, et dont la conclusion est celle-ci : pour qu’on puisse établir une correspondance continue entre 2 surfaces (ou entre 1 surface et l’ensemble des nombres réels), il suffit que chaque surface porte, outre les 2 faisceaux croisés (mi-sécants) u et v qui la définissent, un 3^e faisceau W de lignes unisécantes par rapport aux u et aux v (Rendiconti Palermo, 1898). Il semble donc qu’il ne suffise pas, pour constituer une surface continue, de deux faisceaux (ou d’une série de séries), et qu’il faille quelque chose de plus pour solidifier en quelque sorte la structure de la surface, l’empêcher de s’effiler (de se décomposer en fils). J’ajoute ce fait curieux (mentionné par le même auteur), que si on définit une ligne (c. à d. un ensemble ordonné et continu de points) sur la surface (définie uniquement par 2 faisceux u et v), cette ligne ne sera pas nécessairement continue dans la surface, c. à d. qu’un point-limite des points de la ligne ne sera pas un point-limite des mêmes points conçus comme appartenant à la surface. En voici un exemple : dans un plan xy, qu’on prenne les points rationnels de la droite y = a et les points irrationnels de la droite y = b ; on aura un ensemble de points continus, mais non une ligne continue dans le plan. — J’ai posé la question à M. Enriques lui-même, qui paraît avoir (et a en effet) beaucoup étudié la théorie de la continuité et des connexions, l’Analysis situs : il m’a répondu qu’il a traité ces questions (dans la mesure où elles sont résolues à présent) dans un article pour l’Encyklopädie qui est chez le traducteur. Je suis obligé d’attendre l’apparition de cet article pour me faire une opinion sur ce sujet. En attendant, je suis embarrassé pour rédiger le § correspondant de mon article, qui, lui, ne peut pas attendre. Si vous avez quelque chose à me dire sur ces sujets délicats, je vous serai bien reconnaissant de me le communiquer ; sinon, j’espère du moins vous avoir suggéré quelques réflexions utiles, en vous signalant ces problèmes. — Je vais mieux depuis que la chaleur est passée. Je regrette de n’avoir pas l’occasion de vous voir, et vous souhaite bonne santé pour la continuation de vos travaux. Votre cordialement dévoué

Louis Couturat

P. S. Je viens de recevoir de M. Huntington un article nouveau de lui : Sets of independent postulates for the Algebra of Logic (Transactions Am. Math. Soc., july 1904). C’est fait à un point de vue purement algébrique, et il s’agit de l’Algèbre de Boole-Schröder. Cela n’a donc qu’une valeur formelle et technique ; c’est fort curieux du reste.

A propos des Df avec Hp, voici la réflexion que me suggère votre explication : Admettons qu’on ait une Df de la forme

x ε k . ⸧ . f ’x = … Df

on devra dans la suite mettre la même Hp à toute P contenant f ’x, c. à d. écrire :

x ε k . ⸧ . φ’f ’x

Vous dites : « ces P ne sont vraies que quand l’Hp est vraie : on pourrait tout aussi bien mettre φ’f ’x sans Hp. » Il ne me semble pas : la P précédente est vraie dès que l’Hp est fausse, donc elle est vraie dans tous les cas où x ~ ε k , quel soit le second membre. Dans ces même cas, il est insignifiant : qu’importe ?

Au contraire, si l’on mettait φ’f ’x sans Hp, ou cette P serait, suivant les cas, vraie, fausse, ou insignifiante, et je comprends que cela soit gênant. Bref, je ne vois aucun inconvénient à mettre une Hp. Vous dites : « “x ε k . ⸧ . φ’f ’x” devient insignifiant quant l’Hp n’est pas vraie ». Je ne crois pas, et par conséquent je ne vois pas là d’exception au principe fondamental « que toute implication est vraie quand l’Hp n’est pas vraie. » et l’on peut affirmer cette implication — pour toute valeur de x. En résumé, la thèse d’une implication peut-être vraie, fausse ou insignifiante ; mais l’implication elle-même ne peut être vraie ou fausse, et cela suffit, ce me semble, à satisfaire les exigences de la Logique.

Notes

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