BR TO LOUIS COUTURAT, 5 JULY 1904
BRACERS 53238. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #141
Edited by A.-F. Schmid

Ivy Lodge Farnham.
5 Juillet 1904.
[lire d’abord le mémoir^a anglais]

Cher Monsieur — J’ai à vous remercier (1) pour les comptes rendus d’œuvres géométriques, qui me seront très utiles ; (2) pour l’article sur Kant, que j’ai lu avec un intérêt très vif, et avec beaucoup d’admiration pour l’érudition et la clarté de votre critique ; (3) pour votre lettre avec le résumé de votre livre sur la logique formelle.

Je me réjouis de voir que vous faites honneur à Frege — c’est un homme méconnu, et il est bon de lui donner les louanges qu’il mérite. — Voici une très petite erreur : p. 337, note 4, vous parlez de Sir W. R. Hamilton, au lieu de Sir W. Hamilton. Sir W. R. était l’Irlandais, le mathématicien ; Sir W. était l’Écossais, le philosophe. Je suppose du moins que c’était le philosophe qui a écrit l’œuvre que vous citez. [Je me suis trompé. C’est bien le mathématicien qui a écrit l’œuvre en question.]

Quant aux relations, je suis arrivé à me placer au point de vue de l’extension, pour les mêmes raisons qui m’ont déterminé dans la théorie des classes. C’est à dire, je reconnais que ce qu’on appelle relation en philosophie, et ce qu’on doit appeler telle, est l’analogue du prédicat ; mais que la mathématique doit employer l’analogue de la classe. Pour faire une distinction, on peut appeler cette analogue une corrélation. Ce qui complique l’affaire, c’est que les relations fondamentales de notre calcul sont des relations en intension : telles sont ⸧, ε, =, etc. C’est à dire, on définit ces relations par leur signification, non pas par leur extension. On aura donc, en prenant 𝔍 (comme vous le suggérez) pour la corrélation^b identique,

𝔍 = ?? ?? ($\hat {x} = \hat {y}$) Df

mais on n’aura pas 𝔍 = (=) , quoiqu’on ait

x 𝔍 y . ≡_x,y . x = y

et

xRy . ≡_x,y . xSy : ⸧ . R = S.

Pour l’arithmétique, il est essentiel de prendre les relations en extension. Prenez par exemple la Df des puissances dans Cantor :

(Nc‘v)Nc‘u = Nc‘[Nc → 1 ∩ ?? (D‘R = u . $\breve {D}$‘R ⸦ v)] Df

(Voir Whitehead, Am. J. Section V, *14. 0. 1). Quand on prend les relations en intension, le nombre des relations remplissant des conditions données n’est pas déterminé. Mais en mathématique on a souvent besoin de conter^c les classes de relations. La même chose résulte en considérant la théorie des groupes, ou des combinaisons et des permutations. — Il me paraît qu’il y a des erreurs dans vos arguments sur ce point. L’extension de la relation définie par la^d fonction propositionelle (φ‘x)‘y n’est pas le domaine ni le champ de la relation, mais une corrélation, ce qui est une nouvelle idée primitive. Vous parlez de « divers ordres dans une même^e classe, les couples restant les mêmes ». Or ceci est impossible. Etant donné tous les couples, l’ordre est complètement déterminé. Car, si la relation est de celles qui engendrent des séries, étant donnés deux termes x, y du champ de la relation, vous saurez si c’est le couple (x, y) ou le couple (y, x) qui appartient à l’extension de la relation, c’est à dire si on a xPy ou yPx. Donc l’ordre est complètement déterminé. Dans ce que vous dîtes sur la question de savoir si deux individus déterminent leur relation, je crois aussi trouver une confusion. Je suis d’accord avec vous que, si on prend les relations en intension, il faut répondre à cette question par un négatif. Mais il ne s’agit pas, comme vous le sugérez,^f de toutes les relations qui ont lieu entre ces deux termes, mais seulement des relations qui ont lieu entre ces deux termes sans avoir lieu pour aucun autre couple. Or je soutiens (c’est une extension de l’identité des indiscernables) qu’il existe, pour tout couple, au moins une relation en intension qui ne subsiste pas entre aucun autre couple. C’est à dire, étant donnés deux termes a, b, on peut trouver une fonction (φ‘x)‘y telle que

(φ‘x)‘y . ≡_x,y . x = a . y = b

Ceci est une conséquence immédiate de l’identité des indiscernables. Car on a, d’après ce principe,

(Ǝψ) : ψ‘x . ≡_x . x = a : (Ǝχ) : χ‘y . ≡_y . y = b

Donc Ǝ(ψ, χ) : ψ‘x . χ‘y . ≡_x,y . x = a . y = b

Or ψ‘x . χ‘y est de la forme (φ‘x)‘y. Vous verrez que je mets (φ‘$\hat {x})‘\hat {y}$ pour la relation en intension, c’est-à-dire pour la fonction propositionelle à deux variables, et ?? ?? (φ‘$\hat {x})‘\hat {y}$ pour la relation en extension que détermine la fonction (φ‘$\hat {x})‘\hat {y}$. Ceci est exactement analogue à la théorie des classes.

Sans une relation que détermine un couple donné, l’arithmétique est impossible. Par exemple, on ne saurait prouver

u sim v . x ~ ε u . y ~ ε v . ⸧ . u ∪ ι‘x sim v ∪ ι‘y

Pour les grandeurs extensives et intensives, j’aime votre théorie, qui me paraît fort juste. Seulement, il est nécessaire de définir les additions en donnant les propriétés logiques que doit avoir une fonction f (a, b) pour qu’on la représente par a + b. Cette Df sera plus ou moins arbitraire ; p. ex. on peut y comprendre a + b = b + a ou non, comme on veut. Quand on a la Df, on peut appeler la classe des additions « Add » ; alors on aura

+ ε Add . ⸧ . etc.

Voir mon article sur votre Leibniz, au sujet de votre Chap. VII. Pour la logique symbolique, moi aussi je n’aime pas N → 1, 1 → 1, 1 → Nc . (Je mets ici une flèche, au lieu du symbole ⟝ adopté par Peano pour des raisons typographiques.) Mais je ne sais pas inventer de meilleurs symboles, et ceux-ci ont le mérite que leur signification est très claire. Les flèches toutes seules, comme →, ←, ↔, me paraissent trop simples pour les idées ; si je les employais du tout, ce serait pour exprimer des idées plus fondamentales. Pour 1’et 0’, je me suis décidé à les abandonner. Il me semble que 𝔍 est bon pour l’identité. Je crois que j’adopterai alors O (le O majuscule, pas le zéro) pour la diversité ; du moins si on peut le rendre assez divers du zéro. Sinon, on peut se contenter de ∸‘𝔍 mais j’aimerais un symbole plus simple.

Je n’aime pas votre Df de l’identité. Je mets x = y . = . φ‘x ⸧_φ φ‘y Df . Alors on mettra

𝔍 = ?? ?? ($\hat {x} = \hat {y}$) Df . Toutes les Pp sur ce sujet peuvent se démontrer, excepté

⊢ :. φ‘x . ≡_x . x = a : ⸧ . (℩$\hat {x}$) φ‘$\hat {x}$ = a Pp; ; et peut-être une Pp (à cause de la contradiction) qui dira que (φ) . φ‘x ⸧ φ‘y est de la forme (ψ‘x)‘y.

Il y a sans doute des individus absolus. Tels sont les points, les instants, les points matériels. La seule opération de notre calcul pour lequel nous passons des classes aux individus est ℩ . Mais dans notre calcul nous n’avons jamais besoin de savoir que nos termes sont des individus absolus, excepté peut être dans le cas de (p) . p, que je prends comme signification conventionnelle de (℩$\hat {x}$)φ‘$\hat {x}$ dans le cas où φ‘$\hat {x}$ est vraie pour plus ou moins d’une valeur de x.

Je me suis occupé du manque de symétrie apparente entre

(Ǝx) . φ‘x . ψ‘x et φ‘x ⸧_x ψ‘x,

mais je ne crois pas qu’on puisse y remédier sans introduire de plus grands inconvénients. Les notations (Ǝx) . φ‘x et (x) . φ‘x sont suffisamment semblables. Je ne saurais me passer de (x) . φ‘x, que je trouve de plus en plus nécessaire. On s’accoutume assez vite à cette notation.

J’ai abandonné Elm, qui n’était qu’un symbole transitoire. A présent, je le remplace, comme vous, par 1.

Pour la question de savoir si on a

φ‘x ≡_x ψ‘x . ≡ . ?? (φ‘$\hat {x}$) = ?? (ψ‘$\hat {x}$),

je voudrais bien pouvoir vous dire quelque chose d’exacte.^g Je travaille depuis longtemps à ce problème : j’ai essayé une centaine d’hypothèses, mais toujours j’ai abouti ou bien à une contradiction, ou bien à l’impossibilité absolue de parvenir à l’arithmétique. Voici les points principaux :

(1). On a toujours ⊢ : φ‘x ≡x ψ‘x . ⸧ . ?? (φ‘$\hat {x}$) = ?? (ψ‘$\hat {x}$) Pp

Nul inconvénient ne résulte de cette Pp.

(2). A moins qu’on n’ait l’implication inverse, excepté, tout au plus, dans certains cas bien définis, l’arithmétique est impossible. Car Nc‘{??(φ‘$\hat {x}$)} ne sera pas un nombre défini, si on peut ajouter des termes à la classe sans la changer, c. à. d. si on a parfois

~ ‘φ‘y : ?? (φ‘$\hat {x}$) ∪ ι‘y = ?? (φ‘$\hat {x}$).

Il est vrai que le nombre pourrait être défini si on ne pouvait ajouter qu’un seul terme. Mais on ne saura où s’en tenir ; et tout le calcul des classes se trouve en ruines. On aura p. ex.

x ε₁ u . = : (Ǝφ) . φ‘x . u = ?? (φ‘$\hat {x}$) Df

Ǝ₁‘u . = . (Ǝx) . x ε₁ u Df

x ε₂ u . = : Ǝ₁‘u : (φ) : u = ?? (φ‘$\hat {x}$) . ⸧ . φ‘x Df

et ces deux Df ne seront pas équivalentes l’une à l’autre. On aura

a ∩₁ b = ?? (x ε₁ a . x ε₁ b) Df

a ∩₂ b = ?? (x ε₂ a . x ε₂ b) Df

etc. On se trouve là dans un labyrinthe inextricable.

(3). Dans les cas où ?? (φ‘$\hat {x}$) a des propriétés curieuses, on peut démontrer, au moins avec l’apparence de la rigueur, qu’on s’est trompé en croyant que c’était vraiement^h une fonction de x dont il s’agissait. Les seuls cas, à ce que je sache, où des difficultés surgissent, sont les fonctions de la forme

x = f ‘φ . ⸧_φ . φ‘x,                    x = f ‘φ . ⸧_φ . ~ ‘φ‘x

ou leur négations,

(Ǝφ) . x = f ‘φ . ~‘φ‘x                    (Ǝφ) . x = f ‘φ . ‘φ‘x ,

où f satisfait à f ‘φ = f ‘ψ . ⸧_φ,ψ . φ‘x ≡_x ψ‘x.

Prenons, comme le plus simple, le cas de x = f ‘φ . ⸧_φ . ~‘φ‘x.

Ici, pour l’argument f ‘ψ, on affirme ~‘ψ‘( f ‘ψ) ; il y a donc un argument, à savoir f ‘ψ, pour lequel on nie ψ‘x. Ceci a lieu pour toutes les fonctions ; donc il ne reste aucune fonction qu’on affirme toujours pour l’argument x en posant

x = f ‘φ . ⸧_φ . ~‘φ‘x . Donc on a

⊢ :. ~‘(Ǝψ) :. x = f ‘φ . ⸧_φ . ~‘φ‘x : ≡_x . ψ‘x

La solution de la contradiction doit donc se trouver en posant des limites à la notion d’une fonction de x.

(4). On ne trouve jamais de difficultés que lorsqu’il se trouve une fonction comme variable apparente, c’est à dire quand on considère (φ) . ( f ‘x)‘φ ou (Ǝφ) . ( f ‘x)‘φ. Il y a plus, il faut que φ se trouve dans la forme φ‘x ou φ‘( f ‘x) , où x est la variable réelle. Ce n’est donc qu’en affirmant une fonction variable d’un argument variable qu’on arrive à une contradiction. On peut dire, si on veut, que dans φ‘x, φ se trouve comme concepte,ⁱ non comme terme. (Voir mon livre, chap. IV). Il ne sera pas permis de varier φ dans φ‘x, excepté quand on peut transformer la P. en une P. Où φ se trouve comme terme. Dans ma notation, la fonction comme terme est représentée par φ‘$\hat {x}$ ou φ‘$\hat {z}$; tandis que dans φ‘x, le terme φ‘$\hat {z}$ ne se trouve pas. On aura des Pp pour exprimer la possibilité de la réduction dans certains cas, p. ex. pour (φ) . φ‘x ⸧ φ‘y et pour (φ) . f ‘φ ⸧ φ‘x. Ceci n’est qu’une esquisse de la direction dans laquelle je cherche une solution : ce n’est nullement la solution même. Mais vous verrez que, d’après cette méthode, on peut mettre sans réserve

⊢ :. φ‘x . ≡_x . ψ‘x : ≡ . ?? (φ‘$\hat {x}$) = ?? (ψ‘$\hat {x}$) Pp

⊢ :. (φ‘x)‘y . ≡_x,y . (ψ‘x)‘y : ≡ . ?? ?? (φ‘$\hat {x})‘\hat {y}$ = ?? ?? (ψ‘$\hat {x})‘\hat {y}$ Pp

ou des équivalents.

Le Vol. II ne paraîtra pas pour environ trois ans : il reste encore beaucoup à faire, et je tiens à trouver la solution complète de la contradiction, pourvu que ceci soit possible.

Je ne crois pas bon d’éviter le signe d’assertion « ⊢ » ; il rend beaucoup plus claire la distinction entre une P. complète et une P. qui a besoin d’une hp., et il permet de mettre une hp générale au commencement d’un paragraphe, sans qu’il y ait aucun danger d’oublier qu’il y a une hp.

Les questions de symbolisme sont en effet très importantes et très difficiles. Quand il y a besoin d’un symbolisme pour un livre entier, nous avons trouvé, Whitehead et moi, que dans chaque partie il est nécessaire d’adopter une notation qui n’est pas aussi commode qu’elle pourrait l’être si on écrivait un mémoire spéciale sur cette partie du sujet. Aussi notre notation s’inspire du principe de Frege, que nous admettons, à savoir qu’on ne doit jamais avoir une Hp avant une Df.

Je vous prie de me renvoyer le petit brouillon anglais ci-joint, mais sans vous presser.

Croyez-moi, cher Monsieur, votre bien dévoué

Bertrand Russell

Le 11 juillet 1904.^j

Notes

^aSic ^b[rel] ^csic ^drature ^e{même} ^f-isic ^jCette lettre est datée du 5 juillet au début et du 11 juillet à la fin : Russell a dû la reprendre et la compléter entre temps.