LOUIS COUTURAT TO BR, 11 APR. 1904
BRACERS 53229. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #132
Edited by A.-F. Schmid

Paris,
le 11 avril 1904.

Cher Monsieur,

J’ai bien reçu votre nouvelle lettre et les imprimés. Comme toujours, vos deux réponses (14 mars et 4 avril) m’ont beaucoup éclairé et satisfait. Vous avez sur la perception extérieure des idées très originales et très séduisantes, qu’il me tarde de vous voir exposer. Certes, Kant n’eût jamais admis que nous percevons des relations : pour lui, toute forme, tout rapport, venait de l’esprit. Si vous pouviez montrer le contraire, ce serait un nouvel argument pour ruiner le kantisme. Que nous ne percevions pas les points, cela me semble évident ; et j’admets volontiers que l’espace actuel est caractérisé par ses relations internes (au fond, quand M. Poincaré dit que l’espace est un groupe, il ne dit pas autre chose). Mais la question qui subsiste, selon moi, est celle-ci : le choix de ce groupe, de ce système de relations entre tous les groupes logiquement possibles est-il imposé par des raisons a priori ou guidé par l’expérience ? Vous savez ce que M. Poincaré dit contre cette seconde hypothèse. Les raisons de commodité qu’il invoque en faveur de l’espace euclidien ne seraient-elles pas des raisons … rationnelles ? Pensez que pendant 20 siècles personne n’a songé à mettre en doute le postulatum d’Euclide, et que maintenant encore tout le monde l’admet inconsciemment (quand ce ne serait que la possibilité de construire un petit triangle semblable à un grand). Reste, il est vrai, le nombre des dimensions, qui paraît bien être empirique (ou intuitif), et non rationnel.

— J’étudie tout cela pour mon dernier article, sur la Géométrie. Je vais étudier Pasch, Hilbert, Enriques (Géom. projective). — Je vais aussi lire Meinong, Annahmen, suivant votre conseil.

— Il y a un point sur lequel vous ne m’avez pas répondu (peut-être ai-je mal posé la question, ou ai-je oublié de la poser). C’est sur la valeur et le sens exact que vous attribuez à la théorie de la grandeur de Burali-Forti. Vous me parlez de sa théorie du nombre cardinal : je ne la défends pas, je suis absolument de votre avis sur l’indépendance du nombre à l’égard de la grandeur. Mais cela n’est pas l’essentiel. Ce qui m’intéresse, c’est sa définition de la grandeur (toutes réserves faites sur son style et ses notations, où il parle d’opérations là où vous parlez de relations). Cette définition :

f ε Op . ⸧ . Grandf = Cls ∩ u ɜ [f ε Opu.I.II.III.…]

(entre parenthèses, les 8 postulats de la grandeur) est-elle une définition nominale, ou une définition par postulatsa déguisée ? Peut-on dire qu’elle est purement logique ? Il m’est difficile de la comparer à la vôtre, puisque, comme vous le dites, votre concept de grandeur est différent. Pour moi, je tiens à avoir un concept de grandeur qui suffise à fonder toute l’Analyse⁽¹⁾ ; et il me semble que celui de Burali est plus complet à cet égard. Or vous dites que ce qui vous empêche de considérer votre concept de grandeur comme purement logique, c’est la relation d’inégalité, qui est indéfinissable. Mais je remarque que cette relation ne figure pas dans la définition de Burali (elle est remplacée par θ ) :

θ(u, f  )a = u ∩ x ɜ [a ε xf (u – Nul (u, f ))] 

c. à d. qu’elle est définie au moyen de l’opération f : a > b, si a = b + x. De même, HUNTINGTON définit (⚬ étant l’opération) a < b par :

a ⚬ y = b. Et l’un de ces 6 postulats est :

« 4. Si a ≠ b, ou bien il y a un x tel que a = b ⚬ x, ou bien il y a un y tel que a ⚬ y = b. »

En somme, il ne figure dans les postulats de Burali et de Huntington que la notion d’égalité (et de non-égalité) et celle d’une opération formelle et indéterminée. Vous semble-t-il que ces définitions puissent faire de la grandeur un concept logiquement constructible, comme le nombre ? Voilà la question qui me tient à cœur à présent ; je vous prie d’y réfléchir et de me dire ensuite votre avis. J’en aurai besoin pour mon 3^e article, qui traitera, d’abord du continu, et ensuite de la grandeur (pour bien marquer que le 1^er est indépendant du 2^e).

Vous voici à la campagne, non loin de votre ancienne résidence de Haslemere. Je vous souhaite bonne santé, ainsi qu’à Madame Russell, et vous prie de me croire Votre cordialement dévoué

Louis Couturat

P. S. Inutile de dire que je me réjouis vivement de l’accord anglo-français.

(1) etb qui, par suite, implique la continuité

Textual Notes

• a

  postulats rature

• b

  et {et}