BR TO LOUIS COUTURAT, 4 JUNE 1904
BRACERS 53234. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #137
Edited by A.-F. Schmid

Ivy Lodge, Tilford, Farnham.
4 juin 1904.

Cher Monsieur

Votre lettre et celle de M. Burali-Forti m’ont^a beaucoup intéressé. Si vous publiez celle de B-F dans la Revue, je demanderai probablement permission d’y répondre. L’objection que vous lui avez faite me paraît absolument juste. D’après les Df que vous me transmettez, on a

^b(x ; y) = (x’ ; y’) . = : x = x’ . y = y’ . ˅ . x = y’ . y = x’

tandis que, pour les relations, il est essentiel qu’on ait

(x ; y) = (x’ ; y’) . = : x = x’ . y = y’

ce que B-F met sans justification. Car on a, d’après lui,

(ιx ⸵ ιy) = ℩u ɜ [u = z ɜ Ǝx’ ɜ Ǝy’ ɜ (z ε u . = . x’ = x . y’ = y)]

= ℩u ɜ [u = z ɜ Ǝy’ ɜ Ǝx’ ɜ (z ε u . = . y’ = y . x’ = x)]

= (ιy ⸵ ιx)   (1)

(1) . ⸧ . ℩ (ιx ⸵ ιy) = ℩ (ιy ⸵ ιx) . ⸧ . (x ; y) = (y ; x)

Du reste, la Df de (a ⸵ b) ne me paraît pas correcte du point de vue formel. Elle est, n’est-ce pas,

a, b ε Cls . ⸧ . (a ⸵ b) = ℩ Cls ∩ u ɜ [u = z ɜ Ǝx ɜ Ǝy ɜ (z ε u . = . x ε a . y ε b)]

[Vous mettez u ⸧ z ε^a etc., mais ceci doit être une erreur ?]

On aura z ε u . = . x ε a . y ε b quand tous les deux sont faux.

Donc, pourvu qu’on ait z ~ ε u : Ǝ – a . ˅ . Ǝ − b, on aura

Ǝx ɜ Ǝy ɜ (z ε u . = . x ε a . y ε b)

Donc : Ǝ – a . ˅ . Ǝ – b : ⸧ : z ~ ε u . ⸧_z . Ǝx ɜ Ǝy ɜ (z ɜ u . = . x ε a . y ε b). 

⸧_z . z ε u :

⸧ : (z) . z ε u :

⸧ : u = − Ʌ.

Quand on a – a = Ʌ . – b = Ʌ , on aura de même u = − Ʌ.

Ce qu’il faut pour la méthode de B-F, c’est

(Ǝf ) : f (x, y) = f (x’, y’) . ⸧_{x,y,x’,y’} . x = x’ . y = y’ Pp

Mais^d ceci même n’est pas assez, car il vous faut une fonction telle que f. Donc il faut mettre :

Idée primitive : x → y, le couple dont x est l’antécédent et y le conséquent.

x → y = x’ → y’ . ⸧ . x = x’ . y = y’ Pp.

Mais sans une telle idée primitive, ou une autre qui rend les mêmes services, on ne peut traiter des relations.

Dans la lettre de B-F que vous me transmettez, il n’y a pas de Df de a ⸵ b ou de x ; y. Jusqu’à ce que ce point soit réglé, il n’y a pas lieu de discuter les détails.

On n’a besoin que d’une seule idée primitive pour les relations, et on peut la choisir comme on veut — il y a beaucoup de liberté dans le choix. Il nous faut des relations en extension, de même que pour les classes. Pour ma part, je préfère, comme idée primitive, la corrélation de x avec fx pour toute valeur de x, que je représente par x”(fx). En mettant pour fx la valeur y ɜ φ (x, y) on obtiendra la relation qui détermine la fonction propositionnelle φ (x, y) en concevant cette relation comme corrélation de chaque x avec la classe des y pour lesquelles on a φ (x, y) . Pour la géométrie, le mouvement tel qu’il se trouve chez Pieri ne me fâche nullement — c’est vraiment une idée de logique pure. Vous verrez ce que j’en pense dans mon livre, pp^e. 406, 418. Ce que vous me dîtes sur Enriques m’intéresse beaucoup. Dans le moment, je n’ai pas le temps de m’occuper de géométrie, puisque je travaille à la théorie des classes et des relations, pour arriver à une solution complète de ma contradiction, et que, comme vous le dîtes de vous-même, je n’ai pas le pouvoir de m’occuper de deux choses à la fois. Mais plus tard je reviendrai à la géométrie, et alors je vous serai très reconnaissant si vous pouvez m’envoyer les mémoires dont vous me parlez. — Pour le mouvement, il ne faut pas confondre le mouvement géométrique avec le mouvement cinématique, car le dernier implique le temps, ce qui n’est pas vrai pour le premier. C’est à dire, le mouvement cinématique est une série continue de positions dans l’espace, tandis que le mouvement géométrique est une transformation de points en points, où on ne suppose pas de processus de transformation graduelle.

Pour Hilbert, je ne l’ai pas lu avec beaucoup d’attention. Il a outragé mon goût esthétique, p. ex. par son habitude de discuter les théorèmes projectifs en supposant l’espace euclidien. Il n’est pas sans mérite, mais les problèmes dont il traite ne me paraissent pas les plus intéressants.

J’ai reçu le Vocabulaire, lettre D. Mais je n’ai pas trouvé d’observations à faire. Je regrette seulement que vous ne dîtes pas que le syllogisme en Darapti est faux.

Croyez-moi toujours, cher Monsieur, votre cordialement dévoué

Bertrand Russell.

Notes

^aSic ^b[x] ^c[u ⸦ ] ^d[Alors on mettra] ^erature