LOUIS COUTURAT TO BR, 2 APR. 1905
BRACERS 894. TLS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #165
Edited by A.-F. Schmid

Paris,
2 Avril 1905.^a

Cher Monsieur,

Si parfois je vous ai obsédé de lettres rapprochées, voici longtemps, en revanche, que je ne vous ai écrit, et je crois même avoir laissé sans réponse deux de vos lettres du commencement de février. C’est que j’ai été extrêmement occupé. Votre dernière lettre m’a donné votre opinion sur Hilbert, qui coïncidait avec la mienne. Celle-ci s’est fortifiée en lisant l’article qu’il a publié « Ueber den Zahlbegriff », dans le Jahresberich der deutschen Math.-Vereinigung, t. VIII, 1900. Il est inconcevable qu’on ose, onze ans après que Peano a établi l’Arithmétique sur cinq axiomes et 3 notions premières, proposer un système beaucoup plus compliqué, et cela, sans citer Peano ni même paraître connaître l’existence de ses travaux. Je crois que cela ne peut s’expliquer que par l’infatuation germanique et le dédain pour tous les travaux étrangers. Et puis, que signifie cet axiome d’intégrité (Vollständigkeit) qu’il ajoute aux axiomes de la Géométrie (dans la traduction française de ses Grundlagen der Geometrie) comme à ceux de l’Arithmétique ? Il me semble que, étant donné un système d’axiomes quelconque, il faut démontrer qu’il est « complet », c’est à dire qu’il n’est vérifié que par un seul système d’objets. Mais je ne comprends pas qu’on prenne cette propriété extrinsèque du système total pour un nouveau postulat ajouté aux autres. N’est-ce pas votre avis ?

J’ai lu bon nombre de mémoires américains dans les Transactions et le Bulletin of the Am. Math. Soc. touchant les questions de Logique mathématique. Il y a à Chicago un professeur, M. Moore, qui paraît former une école de logiciens-mathématiciens, dont fait partie notamment M. Veblen. Celui-ci m’a envoyé son dernier mémoire sur « Theory of plane curves in non-metrical Analysis situs », où il démontre, sans postulat métrique, le théorème de Jordan : « Une courbe simple fermée partage le plan en deux régions ». Qu’un tel théorème soit aussi difficile à démontrer, voilà qui étonnera les partisans de l’intuition en Géométrie. J’avoue que sa démonstration est si compliquée que je n’ai pas pu la suivre dans toutes ses parties. Je serais bien aise d’en avoir votre avis, si vous la connaissez. Je m’efforce à présent de compléter mes informations sur l’Analysis situs, dont j’ai dit un mot dans mes articles ; je veux compléter ce « mot » dans le futur livre. Je n’ai rien pu tirer des mémoires de Poincaré publiés sous ce titre ; ce sont jeux d’Analyse pure. Je connais un peu la théorie des connexions, fondée par Riemann ; mais ce n’est qu’une partie de l’Analysis situs, ou, comme je préfère l’appeler, de la Topologie. M. Veblen, dans son dernier mémoire, donne un définition de la courbe ; seulement il y introduit à côté de la continuité ordinale, une continuité géométrique qui m’inquiète, car je me demande si elle n’implique pas quelque élément métrique.

Au cours de ces lectures j’ai eu le plaisir de lire le compte-rendu que M. Wilson a fait de votre grand ouvrage dans le susdit Bulletin, et où il vous rend pleine justice, ainsi qu’à Peano. J’ai vu qu’il reproche à M. Poincaré de ne pas connaître et apprécier les recherches logiques de Peano et autres ; et avec raison, je crois. M. Poincaré ne connaît que les travaux de Hilbert, qui sont justement les moins « logiques » ; et par malheur il a contribué à les vulgariser en France. Dans mon second article de l’Enseignement mathématique (mars), que je vais vous envoyer avec mon dernier article de la Revue de Métaph., j’ai tâché de réfuter la théorie bizarre de M. Poincaré sur le raisonnement par induction, théorie qui passe pour parole d’Evangile aux yeux des philosophes et des mathématiciens français. A ce propos, mon ami Lalande m’a soumis hier des réflexions assez ingénieuses, tendant à expliquer, sinon à justifier, l’opinion de Poincaré. Ce qui fait la généralité du raisonnement par induction, c’est que l’on peut conclure de n à n + 1, et cela, quel que soit n. Or, disait-il, dans la pratique, on démontre cette proposition générale pour une seule valeur de n, quelconque, mais déterminée, et c’est cette inférence d’un seul cas particulier à tous qui semble constituer l’induction, non pas complète (ce mot suppose à tort une énumération^b complète, qui est impossible), mais parfaite, c’est à dire déductive et démonstrative. — Sans doute, lui répondis-je ; mais c’est ce qui arrive toutes les fois qu’on démontre une proposition générale; et ce qui fait la valeur de ce procédé, c’est qu’on n’invoque, même en considérant un individu particulier de la classe, que les propriétés générales de cette classe, qui servent à la définir. Par conséquent, on raisonne bien sur un individu, mais c’est sur un individu général ou quelconque, qui représente tous les autres de sa classe. — Soit, me dit-il ; il n’en est pas moins vrai qu’on applique à tous ce qui a été démontré pour un seul, bien que celui-ci soit quelconque ; et c’est cela qui constitue le principe de l’induction logique. Or je ne vois pas que tu aies nulle part formulé un tel principe parmi les axiomes de la Logique. — C’est vrai, répondis-je, parce que j’ai simplifié les principes de M. Russell dans mon exposé ; mais dans son exposé définitif il se trouve précisément un principe tel que celui que tu réclames, et qui dit : « Ce que l’on peut dire d’un quelconque (any), on peut le dire de tous (every) ». Voilà comment mon attention a été appelée sur ce principe, que j’étais tenté de considérer comme superflu, ou comme rentrant dans le principe de substitution, ou enfin comme une sorte de tautologie. Je vous proposerais de l’appeler, en conséquence, « principe d’induction », pour en montrer la portée.

Je vais m’installer après-demain à Bois-le-Roi, comme l’an dernier, pour l’été (cela suffit comme adresse). Si vous venez en France cette année, seul ou mieux avec Madame Russell, j’espère que vous nous ferez le plaisir de venir nous voir et visiter la belle forêt de Fontainebleau, ainsi que le château ; M. Peano est venu l’an dernier passer une journée avec moi, et je lui ai montré château et forêt. Mais vous, qui connaissez Venise et tant d’autres lieux, vous devez connaître Fontainebleau. Néanmoins, la forêt est si grande et si variée, qu’elle offre toujours de nouveaux points de vue et, suivant les saisons, des attraits différents.

Recevez, cher Monsieur, avec tous nos vœux pour votre santé et celle de Madame Russell, l’expression de mes sentiments les plus cordiaux.

<signed> Louis Couturat

Notes

^aLettre conservée aux archives Russell, tapée à la machine. ^b[s]