BR TO LOUIS COUTURAT, 5 MAR. 1906
BRACERS 53281. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #205
Edited by A.-F. Schmid

Bagley Wood,
Oxford,
5 mars 1906.

Cher Monsieur,

J’ai lu avec le plus grand intérêt votre réponse à M. Poincaré, qui me paraît admirable. J’ai aussi lu l’article de Pieri, et je vois qu’il a raison quand il dit qu’on peut remplacer la Pp de Burali-Forti par la P. 18, qui équivaut à peu près à mon axiome suggéré : u ε Clsfin . ⸧ . Cls‘u ε Clsfin. C’est, cependant, un axiome moins fort que le mien, donc préférable, s’il effectue la même chose.

Je n’ai que peu de critiques à faire sur votre article. Dans la 3^me colonne de p. 2 se trouve la formule 0 = ιɅ : φx = Ʌ . ⸧ . Ʌ = x ɜ φx que je ne comprends pas. Elle n’est en tout cas pas de moi, puisque je n’emploie pas Ʌ pour les fonctions propositionnelles. J’admets (x) . ~ φx . ⸧ . x ɜ φx = Ʌ mais ceci n’est pas une Df. Comme Df. je mets Ʌ = x ɜ (x ≠ x) Df ^a ou : Ʌ = x ɜ {~ (x ⸧ x)} Df. Pour deux raisons je ne puis prendre φx = Ʌ . ⸧ . x ɜ φx = Ʌ comme Df : (1) parce que je n’emploie jamais un seul symbole dans deux sens différents, comme il arrive ici pour Ʌ ; (2) parce que je n’admets jamais une Df avec hypothèse. Mais je ne doute nullement que j’aie donné autrefois une telle Df de Ʌ.

Même colonne, bas : Cette Df n’est pas plus rigoureuse que l’autre ; elle est seulement plus courte :

1 = ??{(Ǝc) : x ε u . ≡_x . x = c} Df

P. 3, 1^re colonne. Df de x ε u : Cette Df se trouve presqu’exactement dans Frege, Gg. p. 53. Il vaudrait mieux la citer de là : (1) parce que ce livre est publié ; (2) parce qu’il date de 1893, (3) parce que la Df devient impossible avec ma nouvelle théorie, qui consiste, au fond, en ceci, qu’on ne peut pas faire des propositions de la forme (φ) . f (φ), c’est à dire des prop. qui affirment que quelque chose est vraie pour toutes les fonctions. Donc (Ǝφ) . f (φ) est impossible, et la Df de x ε u devient impossible. Je mets x ε p/a . = . p$\frac xa$ Df , où p$\frac xa$ est ce que devient p quand on substitue x à a.

P. 3, 3^me colonne. Ce que vous dites au sujet de l’existence d’un individu est sans doute vrai, mais à votre place je m’exprimerais différemment. Un^b individu peut être donné directement, comme le sont les objets de la perception, et les idées primitives, et les prop. qu’on fabrique — p. ex. (p) . p ⸧ p, (p, q, r) : p ⸧ q . q ⸧ r . ⸧ . p ⸧ r etc. Alors on ne démontre pas l’existence de l’individu, parce que cette existence n’a aucun sens. Mais en général, on ne parvient aux individus que par une description : le roi d’Angleterre, le roi de France, la racine de 4, la racine de 5, etc. Alors on démontre qu’il y a un individu auquel cette description s’applique : soit la description (℩x)(φx) , on a

E!(℩x)(φx)} . = : (Ǝc) : φx . ≡_x . x = c Df

C’est au fond ce que vous dites ; mais il me semble nécessaire de distinguer les cas où l’individu est donné et où il n’est qu’indiqué. En montrant (Ǝc) : φx . ≡_x . x = c, il faut que c soit donné, ou bien qu’on puisse arriver à c, en partant d’un individu donné, par un nombre fini de preuves d’existence d’individu.

Quand on dit : « le maximum de la classe de nombres u existe » on ne dit pas « max u ε u ». On a (je suppose)

maxu = (℩n){m ε u . ⸧_m . m ≤ n : n ε u} Df

Donc « max u existe » = = :. (Ǝc) :. m ε u . ⸧_m . m ≤ n : n ε u : ≡_n . n = c

P. 4, 2^me colonne, 1^ère note. La première ligne de la Dem devrait être a ⸧ b . ⸧ . c ⸧ ab. On n’a pas besoin de Ident pour a ⸧ a . a ⸧ b . ⸧ . a ⸧ ab, qui vient directement de Comp. Il vaudrait peut-être mieux insérer une ligne de plus de la Dem.

Pieri 3^me colonne. On devrait attribuer la fausseté de la Pp à Whitehead, pas à moi. La classe qui en montre la fausseté est

ι(ιx) ∪ ι(ιy) ∪ ι(ιx ∪ ιy)

non pas ιx ∪ ιy ∪ ι(ιx ∪ ιy) .

seq u = seq v . ⸧ . u = v est faux si u = $\bar {∨}$ – ιx . v = $\bar {∨}$ – ιy . x ≠ y. On aura alors seq u = seq v = ι$\bar {∨}$. Il me semble qu’il n’y a qu’une différence minutieuse entre la Df des nombres que propose Pieri et celle de Frege (qui est la mienne).

Quant à la demande de Pieri, si on suppose (x) . x ~ ε x, la contradiction s’applique à la classe nulle, et ne se trouve pas résolue. Pour l’existence des finis on n’a pas besoin de ƎCls infin. On a α, β ε Nc . ⸧ . α + β ε Nc sans aucun postulat d’existence. [Pour ceci on a besoin de (Ǝu, v) . u ε α . v ε β . u ∩ v = Ʌ, ce qui s’obtient de Ǝα ∩ Cls‘1 . Ǝβ ∩ Cls‘2. Or Ǝα ∩ Cls‘1 est une conséquence de Ǝα : u ε α . ⸧ . ι‘‘u ε α ∩ Cls‘1 ; et on a Ǝα parce que Nc = Nc‘‘Cls Df et

u ε Cls . ⸧ . u ε Nc‘u . ⸧ . ƎNc‘u. De même on a Ǝβ ∩ Cls‘2, en prouvant d’abord β ε Nc . ⸧ . Ǝβ – ι‘$\bar {∨}$. Donc n ε Nc . ⸧ . Ǝ(n + 1) . n + 1 ε Nc. La difficulté est plutôt en prouvant n + 1 ≠ n. Mais ceci s’effectue par induction. On obtient ƎCls infin en prouvant Ncfin ε Cls infin. Cependant il faut remarquer que Nc fin est une Cls, et que d’après ma présente théorie j’ai besoin d’une autre démonstration pour ƎCls infin, si Cls infin signifie une classe infinie d’individus. Cependant il n’est pas difficile de fabriquer $\aleph_0$ propositions, ce qui donne la démonstration de ƎCls infin.

Nous nous portons bien tous deux depuis notre retour. J’espère que Madame Couturat se porte mieux. En vous remerciant très sincèrement pour votre amabilité pendant mon séjour à Paris, je vous prie de croire à mes cordiales amitiés.

Bertrand Russell.

Notes

^a{Df} au-dessous de la ligne ^b[L’existence]