BR TO LOUIS COUTURAT, 17 JAN. 1906
BRACERS 53274. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #198, “197”
Edited by A.-F. Schmid

Bagley Wood,
Oxford.
17 janvier 1906

Cher Monsieur,

Votre intéressante lettre est arrivé^a il y a deux jours ; je suis bien aise de savoir ce que vous dîtes^b au sujet de M. Poincaré. Il devrait savoir qu’on ne devrait pas faire la critique d’une théorie qu’on ne connaît pas. Je n’ai rien à dire au sujet de votre réponse, qui dira certainement ce qu’il faut.

L’idée de Hilbert me paraît absurde. Elle semble entraîner la conséquence qu’il est nécessaire de déduire toutes les conséquences d’une Prop. avant qu’on puisse savoir si elle implique une contradiction ou non. Or 1° les conséquences sont en nombre infini, 2° il faudrait appliquer le même critérium à chacune d’elles pour savoir si c’est une conséquence contradictoire ou non. On ne peut dire sans cercle vicieux : Ce qui se contredit, c’est ce qui a des conséquences qui se contredisent.

Quand je dis qu’on peut tout aussi bien partire de 1 que de 0, je veux dire, bien entendu, qu’on peut déduire l’existence de 1 autrement qu’en partant de 0. P.ex. ??(x = Id) est une unité (où Id signifie la constante (p) . p ⸧ p). On a alors (ι‘Id ∪ ι‘1) ε 2 etc.

Sans doute il n’existe pas de preuve du théorème de Bernstein qui ne fait pas usage de propriétés de $\aleph_0$. En ce sens l’induction est essentiel.^c La preuve que j’ai donnée autrefois dans l’Amer. Journ. n’était naturellement pas une vraie preuve, à cause de la Pp. *4. 3. Je voulais seulement montrer la portée de cette Pp, que je ne prendrais que provisoirement comme Pp. Je ne sais pas démontrer cette Pp ; il me semble qu’elle dépend probablement de l’axiome de Zermelo. A présent je ne me permets aucune Pp qui n’est pas tout à fait élémentaire.

Je ne sais pas démontrer u ε Clsfin . ⸧ . Cls‘u ε Clsfin sans l’axiome de Zermelo. Mais je n’ai pas examiné la question depuis l’été passé. Le théorème que j’ai cité s’obtient de la manière suivante : Mettons

Nc infin = Nc‘‘??{(ƎS ) . S ε 1 → 1 . D‘S = u . $\breve {D}$‘S ⸦ u . Ǝu − $\breve {D}$‘S} Df

Nc fi = Nc – Nc infin    Df

Nc induct = ??{0 ε s : m ε s . ⸧_m . m + 1 ε s : ⸧_z . n ε s} Df

$\aleph_0$ = Nc‘Ncinduct Df

On prouve assez facilement ⊢ : u ε Clsinfin . ≡ . Ǝ$\aleph_0$ ∩ Cls‘u

⊢ . Nc induct ⸦ Nc fin      ⊢ . Nc infin = Nc ∩ ??(α = α + 1)

⊢ : Nc‘u ~ ε Nc induct . m ε Nc induct . ⸧ . Ǝm ∩ Cls‘u

Mettons u_N = ??{(Ǝm) . m ε Nc induct . v = m ∩ Cls‘u} Df

Alors ⊢ : Nc‘u ~ ε Nc induct . ⸧ . u_N ε $\aleph_0$ . ⸧ . u_N ε Cls infin

Aussi ⊢ . u_N ⸦ Cls‘Cls‘u . Donc ⊢ . Cls‘Cls‘u ε Cls infin     (1)

Aussi ⊢ :. u ε Cls fin . ⸧_u . Cls‘u ε Cls fin .

     ⸧ : u ε Cls fin . ⸧_u . Cls‘Cls‘u ε Cls fin :

     ⸧ : Cls‘Cls‘u ε Cls infin . ⸧_u . u ε Cls infin     (2)

⊢ . (1) . (2) . ⸧ ⊢ :. u ε Cls fin . ⸧_u . Cls‘u ε Cls fin : ⸧ : Nc‘u ~ ε Nc induct . ⸧_u . Nc‘u ε Nc infin : ⸧ : Nc infin ⸦ Nc induct

c.q.f.d. Il est peut-être facile de démontrer

u ε Clsfin . ⸧_u . Cls‘u ε Clsfin

Je dis seulement que je n’en ai pas encore trouvé une démonstration sans l’axiome de Zermelo.

Je n’ai pas encore examiné la méthode de Huntington avec assez de soin pour savoir si elle est plus commode que celle de Peano ; mais c’est bien possible. Pour ma part, je n’aime pas beaucoup les changements de nom, et je crois qu’il vaut mieux retenir le mot induction, simplement parce qu’il est le nom accepté. A part cela, j’admets que « principe de récurrence » serait meilleur.

C’est une bonne nouvelle que vous allez publier le mémoire de Huntington en Esperanto. Je vois souvent le Daily News, et j’ai observé avec plaisir les articles en Esperanto. Mais les Anglais seront assurément les derniers à adopter la L. I. : c’est un peuple affreusement conservateur. Pour ce qui concerne le changement de notre prononciation, sans doute ce serait à désirer. Mais si vous voulez vous imaginer une tentative de faire prononcer le français comme on l’éppelle,^d vous verrez tout de suite que c’est impossible. Du reste notre poésie cesserait d’être musicale, ce qui serait beaucoup plus à regretter que l’absence d’une L. I. Je suis donc complètement de votre avis, qu’il n’y a pas d’autre méthode qu’une langue artificielle.

Nous sommes ici absorbés par la politique : la débâcle des conservateurs me donne un plaisir très vif. C’est le parti de la guerre, de l’impérialisme, du protectionismee, de l’ivrognerie etc. Jamais aucun parti n’a subi une telle déroute depuis 1832. C’est étonnant. Pour les intérêts de la France, Sir H. Campbell Bannerman fera, je suis sur,^f tout ce qui est à désirer, et tout le monde sait qu’il va pasg se quereller avec l’Allemagne. Je n’ai pas assez suivi la politique française pour savoir ce qu’il faut penser au sujet du nouveau président.

Je suis de plus en plus satisfait de la solution des contradictions que j’ai trouvée. L’essentiel c’est que les classes, les relations, etc. ne sont qu’une façon de parler. De même pour les fonctions : on peut parler de φx ou de φ(x, y) etc., mais φ seule n’est rien. Pour cette raison une expression telle que φx . ⸧_φ . φy n’a aucun sens, puisque φ y apparaît toute seule. Quand on veut faire varier une fonction, il faut la remplacer par une prop et le sujet de la prop. Soit p une prop, a une entité ; alors p$\frac xa$ sera ce que devient p quand on y remplace a par x. (Si a ne paraît pas dans p, on a p$\frac xa$ = p.) Alors au lieu de φx . ⸧_φ . φy, on aura p$\frac xa$ . ⸧_p,a . p$\frac ya$. On mettra p/a^;x = p$\frac xa$  Df. Alors p/a remplacera les classes, et possédera aussi beaucoup des propriétés des fonctions. De même p$\frac {x, y}{a, b}$ signifie ce que devient p quand on y remplace a, b par x, y [ceci se définit], et on mettra p/(a, b)^;(x, y) = p$\frac {x, y}{a, b}$  Df . Alors p/(a, b) remplacera les relations. P/a ou p/(a, b) ne signifie rien sans un ou deux arguments ; on ne définit pas le symbole même, mais certaines prop. dans lesquelles le symbole fait partie. L’indéfinissable dont on part est p$\frac xa$!q, ce qui signifie « p devient q en y substituant x à a ». Alors on a p$\frac xa$ = (℩q)(p$\frac xa$!q) Df. D’après mon article « On Denoting », je définis ℩ de la manière suivante :

ψ{(℩x)(φx)} . = : (Ǝb) : φx . ≡_x . x = b : ψb     Df

Cette Df contient presque tout le contenu de cet article. Cette théorie entraine^h juste les limitations dont on a besoin pour éviter le contradictions, ni plus ni moins.

Je compte aller en France la semaine prochaine rejoindre des amis. En allant je n’aurai pas le temps de m’arrêter plus que quelques heures à Paris, mais en retournant je voudrais y rester au moins 24 heures, pour me donner le plaisir de vous revoir. Je serai à Paris dans ce cas vers le 15 février. Si cette date ne vous convient pas, j’essayerai de rester un jour à Paris la semaine prochaine. Dans ce cas, je vous prie de m’écrire tout de suite, en adressant la lettre à Mill House Grandchester Cambridge.

Recevez, cher Monsieur, l’expression de mes sentiments bien cordiaux.

Bertrand Russell

Notes

^a-eSic