BR TO LOUIS COUTURAT, 19 DEC. 1905
BRACERS 53273. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #196
Edited by A.-F. Schmid

Bagley Wood
Oxford.
19 Décembre 1905

Cher Monsieur

J’ai tout d’abord à vous remercier très cordialement pour l’envoi de votre livre, et pour l’éloge vraiment trop flatteur que vous avez prononcé dans l’avant-propos. Vous avez fait pour mes travaux une œuvre très rare, dont j’apprécie vivement la générosité. Mais mon volume n’est guère, il me paraît, « l’aboutissement nécessaire et le couronnement » des recherches dont il s’inspire. Il reste beaucoup à faire, et je suis persuadé que la forme définitive de la logistique sera très différente de la forme actuelle. Je compte même y apporter moi-même bien des changements, quoique ceux-ci ne toucheront probablement rien aux conséquences générales et philosophiques de mes doctrines.

La note sur les passages nouveaux^a se trouvait bien dans le livre. Merci pour l’avoir envoyée ; elle m’épargne beaucoup de temps.

Tout ce que vous dîtes au sujet de M. Poincaré me paraît très juste. Vous avez raison, je crois, de donner une forme populaire à votre réponse.

Pour l’existence, assurément on ne peut pas prendre comme critérium la non-contradiction. Avez-vous vu ma réponse à Mac Coll à ce sujet ? Si non, je vous en enverrai un exemplaire. Depuis ma nouvelle théorie sur la dénotation, je puis aussi parler de l’existence d’un individu indiqué par une phrase descriptive. On peut mettre

Ex!℩‘u . = : (Ǝc) : x ε u . ≡_x . x = c Df    d’où Ex!℩‘u . ≡ . u ε 1.

Cette idée se trouve utile quand on a une Df telle que (p. ex.)

α + β = (℩y) {u ε α . v ε β . u ∩ v = Ʌ . ⸧_u,v . Nc‘(u ∪ v) = y} Df

[Ceci n’est pas une Df qu’on ferait bien d’adopter ; je la donne seulement comme illustration.] On aura alors α, β ε Nc. ⸧ . Ex!(α + β) . Il me semble que parler de l’existence d’un individu donné (non décrit) n’a aucun sens.

Il est certain que, d’après les méthodes que nous avons pratiquées jusqu’ici, on démontre trop facilement les théorèmes d’existence ; c’est ce que montrent les contradictions. La méthode de la substitution, par laquelle je me passe des classes, a à peu près le même effet dans la pratique que la théorie des types (dans mon Appendice B). J’écrit^b p$\frac xa$ ou $\overline {p|a}$‘x pour la prop. qui résulte de la substitution de x pour a dans p. Alors l’opération p/a remplace les fonctions et les classes. P. ex.

x = y . = : p$\frac xa$ . ⸧_p,a . p$\frac ya$  Df

p/a ⸦ q/b . = : p$\frac xa$ . ⸧_x . q$\frac xb$ Df etc.

Mais p/a n’a pas de sens en soi : ce n’est qu’un symbole, dont on définit l’usage dans certains contextes.

L’existence de 0 n’est pas essentiel aux théorèmes d’existence de l’Arithmétique. On pourra tout aussi bien faire partir l’induction complète de 1. Pour démontrer l’existence de 1, on peut prendre une constante donnée quelconque, par exemple Syll ; on aura

ι‘Syll ε 1 ; donc Ǝ!1.

Mais qu’on trouve paradoxale l’existence de 0, c’est parce qu’on ne se rappelle pas les Df de l’existence et de 0. (Dans ma nouvelle théorie, qui se passe des classes, il est nécessaire de choisir des phrases différentes, mais l’essentiel n’est pas changé.) Mais le nombre 0 existe comme classe, non seulement comme individu, puisqu’on a

0 = ι‘Ʌ Df,     d’où Ʌ ε 0,     d’où Ǝ!0.

Quant à la contradiction de Burali-Forti, je suis d’opinion qu’il n’y a pas de nombre ordinal maximum, quoiqu’il y en aurait un s’il y avait des classes. Je me suis mis à construire les nombres ordinaux avec la théorie des substitutions, et j’ai pu retrouver les nombres de la deuxième classe.^c Mais je ne puis démontrer l’existence d’aucun nombre de la troisième^a classe, ni définir la deuxième classe^c même. Donc ω1, $\aleph_1$, $\aleph_2$ etc. sont peut être des chimères. — J’ai cru autrefois pouvoir réfuter la Dem. de B-F que l’ensemble des nombres ordinaux peut être bien ordonné, mais maintenant je ne crois plus qu’on puisse le faire avec la logistique ordinaire.

Il est vrai que le théorème de Schröder-Bernstein repose sur l’induction, mais pourquoi pas ? On peut bien s’en passer dans le commencement, comme vous le dites. La meilleure preuve, à mon avis, est celle de Zermelo (Göttinger Nachrichten, 1901). Il me paraît probable que M. Poincaré suppose qu’en démontrant α, β ε Nc . α ≠ β . ⸧ : α > β . ˅ . α < β on emploie l’induction dans le sens qu’on va de α, β à α + 1, β et à α, β + 1, de sorte qu’on ne démontrerait le théorème que pour les nombres finis. S’il pense ceci, ce serait bon de lui montrer son erreur.

Quand M. Poincaré dit : « Un nombre peut être défini par récurrence » etc. (p. 835), il suppose erronément que tout nombre peut être défini par récurrence. On a en effet ceci : (1) Il y a des nombres qui se définissent par récurrence, car 1 est tel, et 2 et 3 et ... (2) Si un nombre n peut être défini par récurrence, on peut raisonner sur n par récurrence. Il faut se demander ce que signifient ces phrases vagues. Je suppose qu’on peut mettre :

« n est un nombre qu’on peut définir par récurrence » signifie « n est un nombre qu’on peut obtenir par l’induction », c’est à dire

0 ε s : m ε s . ⸧_m . m + 1 ε s : ⸧_s . n ε s .     (1)

« On peut raisonner sur n par récurrence » signifie peut-être

(1) . ⸧ :. 0 ε s : m ε s . ⸧_m . m + 1 ε s : ⸧_s : n ε s . ⸧ . n + 1 ε s     (2)

Ceci se déduit de (1) très simplement. Donc, si j’ai interprété justement les phrases vagues de M. Poincaré, il se trompe complètement.

Je n’ai pas^d trouvé une Dem de l’axiome de Zermelo, et je n’ai pas trouvé le moyen de m’en passer. Mais on peut toujours l’accepter comme une vérité évidente, si on veut ; car jusqu’ici il n’y a rien qui en démontre la fausseté. Pour ma part, je le trouve trop compliqué pour une Pp, et j’espère toujours trouver une Dem de l’identité des deux Df du fini. Quant à l’axiome de B-F, u ε K‘(K – ιɅ) . ⸧ . u < ∪ ‘u, il est faux.^e Qu’on mette^f

u = ι‘ι‘x ∪ ι‘ι‘y ∪ ι‘(ι‘x ∪ ι‘y) (x ≠ y)

On a     u ε 3 : w ε u . ⸧_w . Ǝ!w : ∪ ‘u = ι‘x ∪ ι‘y . ∪ ‘u ε 2.

Quelle est la différence entre suite et série ? Je ne savais pas qu’il y en avait une.

Dedekind et Frege partent tous deux d’une Df du fini qui est essentiellement la Df par induction ; ils ne pourront pas, je pense, l’identifier avec l’autre Df. Je puis les identifier si j’admets u ε Clsfin . ⸧ . Cls‘u ε Clsfin en définissant le fini par la non-similarité^g du tout et de la partie.^h

La solution des contradictions que je crois avoir trouvée n’est pas encore assez nette pour que je puisse la publier. Elle demande tout d’abord une nouvelle branche de la logistique, la théorie des substitutions, qui doit remplacer les fonctions, les classes et les relations. Cette théorie est assez compliquée au point de vue technique (non pas au point de vue philosophique), et il me faudra du temps pour la développer. Je compte envoyer un mémoire purement mathématique à l’American Journal of Math^cs, aussitôt que possible ; alors je pourrai publier tout de suite un article montrant que les contradictions ont disparu ; cet article évitera autant que possible les difficultés techniques, et fera ressortir autant que possible la portée philosophique de la nouvelle théorie. Si vous pensez qu’il serait bon de la publier dans la Revue de Métaphysique, je l’y enverrai volontiers. Mais il me faudra probablement un an pour m’assurer que la nouvelle théorie est solide. Je vous enverrai bientôt, si vous le désirez, les principales Dfs de cette théorie.

Quant à l’Allemagne, je suis décidément de votre avis — depuis Bismarck, l’Allemagne est abominable. Mais je ne crois pas qu’elle provoquera l’Angleterre et la France en même temps ; je crois même qu’elle ne désire nullement la guerre. Elle pense que personne n’osera lui résister si elle est assez brutale.

La nouvelle administration en Angleterre me plaît beaucoup, puisque je suis du parti libéral. Cependant il faut avouer qu’on a admirablement conduit les affaires étrangères depuis que Lord Lanesdowne s’en occupe et que Chamberlain a donné sa démission. Je regrette la récrudescenceⁱ du nationalisme en France ; espérons que ce n’est pas pour longtemps.

Je vous souhaite, à vous et à Madame Couturat, les meilleurs vœux pour Noël, avec l’expression de mes sentiments les plus cordiaux.

Bertrand Russell.

Je me réjouis d’apprendre que votre cours au Collège de France a commencé par un succès.

Notes 

^aRature ^bsic ^c[espèce]{classe} ^d[illisible] ^e[faut]{faux} ^fRussell avait d’abord écrit : u = ι‘ι‘Ʌ ∪ ι‘ι‘x (x ≠ Ʌ) on a
u ε 2 . ι‘Ʌ, ι‘x ε u
Ǝ!ι‘Ʌ . Ǝ!ι‘x  Mais on a ∪‘u – ι‘x
Tout cela a été barré. ^g{non-} ^hen marge de ce paragraphe, Couturat a écrit : « v. lettre du 17 janv. 06 » ⁱsic