BR TO LOUIS COUTURAT, 23 JULY 1905
BRACERS 53258. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #175
Edited by A.-F. Schmid

Bagley Wood.
Oxford.
23 juillet 1905.

Cher Monsieur

En répondant à vos deux lettres, j’ai à dire tout d’abord combien je me réjouis de ce que vous reprenez le projet d’un voyage en Angleterre. Je vous prie instamment, vous et Madame Couturat, de venir tout d’abord nous faire une visite aussi longue que possible. D’après votre lettre, je suppose que vous arriverez en Angleterre vers le 17 août. De là jusqu’au premier septembre, je serai ici, et si vous pouvez venir pendant ce temps, nous aurons certainement des conversations très agréables et très instructives en même temps. Ma femme est en Bretagne pour le moment ; sans cela elle se joignerait^a à mon invitation. Nous serons en Irelande^b du 29 juillet jusqu’au 10 août ; mais une lettre adressée à Oxford me trouvera toujours. Ce serait vraiment un très grand plaisir de vous recevoir ici.

Quant à k ε Cls²Excl . Ʌ‘Ǝ‘‘k : ⸧ . Ǝ‘ בk, sans doute le bon sens l’affirme. Il affirme de même u ⸦ v . Ǝ‘v – u . ⸧ . Nc‘v > Nc‘u et u ⸦ v . u ⸦ w . ⸧ . Ǝ‘v ∩ w , etc. Il est donc un guide assez trompeur. Si j’étais sûr que l’axiome de Zermelo est vrai, je le prendrais comme Pp. Il est équivalent à

(Ǝf ) : Ǝ‘u . ⸧_u . f ‘u ε u

ce qui est assez simple ; mais dans le moment je ne sais pas si on peut admettre un tel axiome sans aboutir à des contradictions. Zermelo a montré qu’il implique Cls ⸦ C‘‘Ω (c. à d., toute classe peut être bien ordonnée) ; et je crois qu’on peut montrer que ceci est faux.

Sur la théorie de l’implication (c. à d. le calcul des P.) je vais publier un article dans l’ « Amer. J. of Mathcs ». Il m’a fallu trois axiomes au lieu de Red : les voici :

⊢ . ~ (~ p) ⸧ p                         ⊢ : p ⸧ ~ p . ⸧ . ~ p

⊢ : p ⸧ ~ q . ⸧ . q ⸧ ~ p

On pourrait naturellement faire un autre choix. Je n’admets nullement qu’il y ait « quelque chose de paradoxal » dans l’idée de l’implication matérielle. Ne dit-on pas que les P. d’Euclide se déduisent des axiomes ? Il s’agit là d’implication entre P. constantes. Sans l’idée d’implication matérielle, aucune P. constante ne se déduirait d’aucune autre, et il n’y aurait aucune démonstration de quoi que ce soit. Je ne comprends pas très bien ce que vous dîtes^c au sujet de la négation. Il me semble qu’une Df. par les principes de contradiction et du milieu exclu doit pêcher contre les règles de la forme. Du reste, la raison pour laquelle j’ai abandonné « ~ p . = : p . ⸧ . (r) . r Df » est une raison qui vaut contre toute Df : on a besoin de l’idée de fausseté, et du moment qu’on définit la négation d’une P., on peut bien dire que la négation de p est vraie, mais non pas que p est fausse. Vous prouverez (comme je le faisais) que ~ (p .~ p) est vraie, mais non pas que p .~ p est fausse. — A présent, je puis prendre (r). r comme mon zéro sans inconvénients. Mes principes suffisent à prouver ~ (r). r. Car on a naturellement (r) . r . ⸧ . p quelle que soit p. On a donc (r) . r . ⸧ . ~ (r) . r, d’où ~ (r) . r d’après la Pp. p ⸧ ~ p . ⸧ . ~ p. On démontre de même ~ {~ (r) . r . ⸧ . (r) . r}. Car d’après p ⸧ ~ p . ⸧ . ~ p on a p . ⸧ . ~ (p ⸧ ~ p) et ~ p . ⸧ . ~ (~ p ⸧ p) , d’où ~ (r) . r . ⸧ : ~ {~ (r) . r . ⸧ . (r) . r}.

Je suis arrivé à introduire encore une autre espèce de Subst., c. à d.

⊢ : (x) . f ‘x . ⸧ . (y) . f ‘φ‘y Pp

[on peut mettre cette Pp. sous diverses formes]^d On a besoin de cette Pp p. ex. dans le cas suivant : Etant donné que p ⸧ p pour toutes valeurs de p, comme déduirez-vous que p ⸧ q . ⸧ . p ⸧ q pour toutes valeurs de p et^e q ? On peut appeler cette Pp « principe de la substitution d’un complexe variable à une variable indépendante ». Ce principe, ainsi que les principes de particularisation et de généralisation, est d’un usage constant dans la pratique logistique. Je crois que vous devez avoir employé ces principes inconsciemment. Comment ferez-vous la déduction suivante : Etant donné

⊢ : ~ p . ⸧ . p ⸧ q

pour quelle valeur que ce soit de p et de q, prouver

⊢ :. ~ p . ⸧ : p . ⸧ . (q) . q ?

Je mets

*2.3 ⊢ : (x) . φ‘x . ⸧ . φ‘y

*2.31 ⊢ . φ‘y . ⸧ ⊢ : (x) . φ‘x [ceci n’est pas exacte]

*2.4 ⊢ :. (x) . p ⸧ φ‘x . ⸧ : p . ⸧ . (x) . φ‘x

⊢ : ~ p . ⸧ . p ⸧ q     (1)

⊢ . (1) . *2.31 . ⸧ ⊢ : (q) : ⊢ : ~ p . ⸧ . p ⸧ q     (2)

⊢ . (2) . *2.4 . ⸧ ⊢ : ~ p . ⸧ . (q) . p ⸧ q     (3)

⊢ . *2.4 . ⸧ ⊢ :. (q) . p ⸧ q . ⸧ : p ⸧ (q) . q     (4)

⊢ . (3) . (4) . Syll . ⸧ ⊢ . Prop.

Mais je ne vois pas comment vous obtiendriez ce résultat. Du reste je trouve que l’usage de *2.31.4 est très fréquent dans les parties les plus avancées de la mathématique ; p. ex. on en a besoin pour prouver u ε k . ⸧_u . p ⸦ u : ⸧ . p ⸦ ∩‘k  Ce que vous dîtes^f au sujet de l’existence ne me paraît pas juste. Si vous voyez Mind, vous verrez ce que j’ai dit à ce propos en répondant à Mac Coll.

(1) Dans^g un sens logique, tout individu existe ; il n’est donc pas la peine d’affirmer ce fait. (2) Dans le sens dans lequel on discute si Homère a existé, seules les choses qui ont une position temporelle existent ; les nombres, les P., etc., n’existent pas. (3) Dans le sens dans lequel on dit Ǝ‘a, on affirme que « x ε a » n’est pas fausse pour toute valeur de x. Sans doute, pour démontrer ceci, on se sert d’habitude d’un individu connu, duquel on sait qu’il appartient à la classe a. Mais cela n’est nullement nécessaire. Par exemple, je suis convaincu qu’il y a des points de l’espace, mais je n’en connais aucun. Il y a des processus par lesquels on peut prouver l’existence des classes (Ǝ‘a) sans pouvoir en trouver des termes. Tel serait p. ex. le processus si on inventait un axiome (tel que celui de Zermelo) pour prouver Ǝ‘ בk ; on aurait Ǝ‘ בk, sans connaître aucune classe p telle que p ε בk. Voici un autre cas : On a

Nc‘Cls‘Ncfin = 2^α₀ . 2^α₀ > α₀

Aussi le nombre des classes de nombres finis qu’on peut définir en termes finis (par une règle, etc.) est α₀. Donc il y a des classes de nombres finis qu’on ne peut pas mentionner, puisqu’il faudrait être immortel pour y parvenir. Donc la classe des classes de nombres finis qu’on ne peut pas mentionner existe ; mais d’après la Df on n’en connait^h aucun terme. Quand on dit : « il existe un nombre tel que etc. », on ne parle pas d’un individu connu, on décrit un individu par une phrase qui est ce que j’appelle « denoting ». J’ai à ce sujet une nouvelle théorie qui me plaît, et que je vais exposer dans Mind ; mais elle est trop longue pour expliquer dans une lettre.

Autre point : la preuve par les exemples n’est pas empirique si les exemples ne sont pas empiriques ; c’est pour cela que je prends (p. ex.) les nombres complexes pour montrer qu’il y a des espaces euclidiens (voir « Principles » p. 498).

Quant à l’existence des nombres, je ne vois pas ce qu’il y a à dire contre la démonstration. Si vous n’aimez pas commencer par Ʌ, on peut commencer par aucun autre individu, pourvu que vous soyez content de vous passer de 0. Vous dîtesⁱ que la pointe de la pyramide est fragile. Vous doûtez^j donc de la légitimité du nombre 0 et de la classe Ʌ. Mais je ne vois pas pourquoi. Et si ces deux ne sont pas légitimes, toute la pyramide tombe quand même ; dans un système logique, tout est essentiel : qu’il se trouve une seule erreur, l’enchaînement logique des parties entraine^k la chute de tout l’édifice. Vous dîtes^l que je fais reposer tout sur l’existence de la classe nulle, et que cette classe n’existe pas, vu qu’elle n’a pas de membres. Mais c’est là un simple jeu de mots ; vous confondez les sens (1) et (3) [p. 4, en haut]. Ce que dit Bôcher au sujet des théorèmes existentielles est assez banale.^m Soit x un individu quelconque ; alors la classe ι‘x existe, vu que x en est un membre. Il y a là sans doûteⁿ un postulat existentiel, savoir

(Ǝ‘u) : y ε u . ≡_y . y = x.

Mais ce postulat se généralise, et on met

⊢ :. (φ) :. (Ǝu) : y ε u . ≡_y . φ‘y Pp

On déduit ⊢ : (Ǝu) : y ε u . ≡_y . y = x

et on a ⊢ :. y ε u . ≡_y . y = x : ⸧ . x ε u

⸧ . (Ǝy) . y ε u

Le principe qu’il faut des postulats existentiels est fort juste, mais ces postulats peuvent paraître sous bien des formes (p. ex. dans celle-là, que ??(φ‘x) signifie toujours quelque chose).

Pour la logistique, comme dans l’algèbre de la logique, on a

⊢ :. p . ≡ : p . ≡ . ~ (s) . s et

⊢ :. ~ p . ≡ : p . ≡ . (s) . s

Au sujet de 0 ≠ 1 , j’ai répondu plus haut.

Pour la Df de בk, comme pour toutes les Df, on n’a besoin d’aucune hypothèse sur k ; mais si on veut que Nc‘ בk soit le produit des Nc des membres de k, il faut en général qu’on ait k ε Cls²excl . C’est sans doûte^o parce qu’il permet la répétition que Peano est d’un autre avis. Mais il lui faudrait distinguer deux classes dans chacune serait ι‘x ∪ ι‘x, c. à d ι‘x ; ce qui ne va pas.

Je ne vois pas de cercle vicieux dans ce que Frege a écrit au sujet de l’induction, au contraire, je trouve que c’est fort beau. Mais ce n’est pas une identification des deux Df du fini.

Je ne me rappelais pas le postulat de Burali-Forti ; il est intéressant. J’avais déjà trouvé qu’on pouvait faire bien des choses avec ce postulat. Mais qui sait s’il est vrai ?

Quand vous serez ici, je vous montrerai la notation de Whitehead pour les relations ternaires etc. Si vous ne venez pas, je vous l’enverrai. La mort de M. Hannequin est bien triste. J’ai beaucoup admiré son livre sur les atomes, dont j’ai fait un compte rendu dans Mind.

Je n’ai aucun exemplaire de ma réponse à Keyser, qui ne contenait rien que la preuve de Ǝ‘α₀. Je ne savais pas qu’il avait répondu à ma réponse. Je suis complètement de votre avis au sujet de son style et de son manque de précision. Quant à l’existence, je pourrai mieux expliquer mon opinion quand j’aurai écrit mon article « On denoting phrases ». Je ne connaîs^p pas Jevons, mais je ne crois pas qu’il soit un fils de Stanley Jevons.

Recevez, cher Monsieur, avec l’espoir de vous voir bientôt, l’assurance de mes sentiments bien cordiaux.

Bertrand Russell.

Notes

^a-cSic ^d[j’ai besoin] ^e[est] ^fsic ^g[le]{un} ^h-psic