LOUIS COUTURAT TO BR, 10 JULY 1905
BRACERS 53257. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #173
Edited by A.-F. Schmid

Délégation pour l’adoption d’une langue auxiliaire internationale^a
Secrétaire : M. L. Leau
Trésorier : M. L. Couturat
6, rue Vavin
7, rue Pierre-Nicole,7
Paris (6^e)
Paris (5^e)
Veules,
le 10 juillet 1905.

Cher Monsieur,

Comme toujours, votre lettre m’apporte une foule d’idées justes et précises, de suggestions intéressantes. Mais à peine la lumière est faite sur un point que des difficultés surgissent sur un autre. Que vous ne puissiez pas, jusqu’ici, démontrer la P Ǝ‘ בk, c’est possible ; mais ce qui m’étonne, c’est que vous sembliez douter de sa vérité. Il me semble évident que, sous^b l’Hp :

k ε Cls²Excl : u ε k . ⸧_u . Ǝ‘u

on peut extraire un individu de chaque classe k, et former ainsi une nouvelle classe. Et alors, voyant que vous ne pouvez démontrer une chose qui paraît si simple et si facile, je me demande si ce n’est pas la faute des définitions ou des principes de votre système. Vous comprenez et excusez cette attitude d’esprit critique : mais il me semble qu’un système logique doit pouvoir donner tout ce que donne le bon sens.

Je suis bien aise d’apprendre que vous prenez la négation pour notion première, parce que cela simplifiera vos principes (supprimera Red, si dur à admettre comme Pp) et votre exposition, et la rapprochera de la logique du bon sens (vous savez que je m’efforce de m’en rapprocher le plus possible dans mon Man. de Log.). Vous postulez 2 formules du principe de contraposition ; je n’en ai postulé qu’une (a ⸧ b . ⸧ . – b ⸧ − a), qui me suffit à établir la loi de double négation ; mais c’est parce que je définis la négation (comme Schröder) au moyen des principes de contradiction et du milieu exclu. Cela suppose, d’une part, la définition de Ʌ et V, d’autre part, celle de la somme logique ; le produit logique (des P) est pris comme indéfinissable. Vous, au contraire, vous définissez la somme et le produit par la négation et l’implication. C’est peut-être plus simple, mais peu naturel, la notion d’implication matérielle ayant qque chose de paradoxal, qui ne s’explique, au contraire, que par l’équivalence à une alternative (M. Lechalas a été scandalisé par cette notion, et m’a demandé des explications).

Je vois que vous n’avez pas dans votre symbolisme les symboles Ʌ et V. Vous les remplacez, ce me semble, par le symbole ⊢ de Frege. C’est peut-être pour cela que vous ne pouviez pas dire qu’une P est fausse. J’avais déjà remarqué ceci : vous preniez pour Ʌ la formule (r) . r, mais, à mon goût, cette formule ne peut pas définir Ʌ : qu’on ait ensuite (r) . r = Ʌ, fort bien ; mais c’est un théorème, non une définition. Comme vous le dites, le lecteur peut admettre (r) . r, et vous ne pouvez le réfuter. — Sur ce point, je suis obligé de postuler V − = Ʌ , ou plus exactement : V – ⸧ Ʌ . Sans quoi le vrai et le faux pourraient se confondre.

Je travaille toujours à la fois aux Princ. des math. et au Manuel de Log.. Dans celui-ci, j’ai rédigé un § sur vos 2 principes de particularisation et de généralisation, en montrant leur rôle et leur utilité dans le raisonnement math. J’ai dit que l’on n’en avait pas besoin en Logistique, parce que l’on y raisonne toujours sur des P générales ; le fait est que je n’ai eu à les employer nulle part, mais peut-être les ai-je employés inconsciemment, comme les mathématiciens. Quel est votre avis là-dessus ? Sont-ils nécessaires à la constitution théorique de la Logique ?

— Dans les Princ. des math., je me suis décidé, pour ne pas bouleverser le plan, à ajouter deux Notes, sur la théorie des ensembles et sur la notion de groupe. Dans le 1^er Chap. (Principes de la Logique) je remplace le § D par une Méthodologie sommaire (résumé du Chap. IV du Manuel de Logistique) où je traite des définitions, des systèmes de notions premières et des Pp, de leur irréductibilité, etc. (mes articles de l’Enseign^t math., remaniés).

Je suis toujours pris de scrupules au sujet des P existentielles. J’ai dit^c qu’elles portent toujours, non surd les individus, mais sur les classes, et qu’elles affirment qu’une classe n’est pas nulle. Cela n’est pas faux, sans doute, mais cela me semble insuffisant. Car, qu’est-ce à dire, qu’une classe n’est pas nulle, si non qu’il existe des individus (au moins un) dans cette classe ? Et alors, qu’est-ce que cette existence attribuée aux individus ? Or c’est bien, au fond, des individus qu’on affirme presque toujours l’existence, même en Logistique (il existe un nombre qui ... un point qui ... etc.). D’autre part, c’est toujours l’existence des individus^e qu’on invoque quand on veut démontrer, soit la compatibilité de plusieurs Pp, soit leur indépendance. Or cette preuve, par des exemples, a quelque chose d’empirique, et ne paraît pas très satisfaisante. Ne pourrait-on pas démontrer directement, logiquement, que plusieurs Pp sont compatibles, ou qu’une Pp n’est pas la conséquence des autres ? car, après tout, c’est là une propriété purement logique des Pp, qui ne dépend pas de l’existence des individus qui peuvent les vérifier. En tout cas, si l’on peut démontrer l’indépendance^f de certaines propositions par l’existence de certains individus, il faudra établir l’existence des premiers individus par voie logique, en prouvant la non-contradiction de leur définition. C’est à peu près l’objection de Hilbert : on prouve la possibilité de la Géométrie au moyen de divers ensembles de nombres ; mais comment prouver l’existence des nombres, sinon par la possibilité logique de leur définition ? — Je sais bien comment vous prouver, de proche en proche, l’existence des nombres, à commencer par celle des nombres entiers. Mais, vous l’avouerai-je ? plus je réfléchis à cette démonstration, moins je la trouve convaincante, bien que je n’ai pas d’objection positive à lui faire (et cela, bien avant d’avoir lu Bôcher). Tout dépend, selon vous, en dernier ressort, de l’existence de la classe nulle. Je suis effrayé de vous voir faire reposer la pyramide immense des existences logiques sur sa pointe, qui est bien fragile. Comment, et dans quel sens, peut-on affirmer l’existence de la classe nulle, surtout si, comme je le supposais plus haut, l’existence des classes se ramène à l’existence d’individus appartenant à ces classes ? Dans tous les cas, il faut la postuler explicitement, car, comme le dit M. Bôcher, on ne peut démontrer les théorèmes existentiels qu’au moyen de postulats existentiels. Voilà bien des paradoxes !

A ce propos, je remarque que, dans l’Algèbre de la Logique, on peut démontrer formellement la compatibilité de plusieurs propositions : il suffit de les réunir en une seule, à second membre^g 0, et de constater que le premier membre n’est pas 1. Dans cette Algèbre, on a un type d’absurdité, auquel toutes les absurdités peuvent se ramener, à savoir 1 = 0 (ou généralement a = − a). C’est bien commode ! Voilà ce que je voudrais trouver dans la Logistique, si c’est possible. Il est d’ailleurs remarquable que l’absurdité-type ne soit nullement une violation du principe de contradiction, ni d’aucun autre principe classique, mais de ce postulat spécial dont je vous ai parlé, et que j’appelle le principe de vérité : 1 ≠ 0 . Il me semble qu’aucun logisticien ne l’a expressément reconnu et formulé comme principe. Il se trouve, je crois, dans Schröder, mais comme conséquence (de quoi ? je ne sais) ; il faudra que je fasse des recherches pour vérifier ce fait. Est-ce que ce principe (ou un équivalent) se trouve dans Frege, ou dans votre système ?

A propos de la définition de la classe multiplicatrice בk,^h je me rappelle que M. PEANO m’a écrit (à propos de mon 2^e article) que l’hypothèse, que k est une classe de classes disjointes, n’est pas nécessaire ; et il m’a renvoyé au Formulaire, § 56, P 6. 0. Je n’ai pas sous les yeux les documents nécessaires pour éclaircir cette question. Il est probable que, s’il ne postule pas que les classes sont exclusives, c’est parce qu’il admet des combinaisons avec répétition ; et je vois quelle objection vous faites à toute répétition, au nom de la Logique des relations. C’est sans doute pour cela que vous exigez que les classes soient exclusives. Assurément, il est difficile de concevoir qu’on associe un élément d’une classe au même individu considéré comme élément d’une autre classe : il fautⁱ le dédoubler par la pensée, et alors cela fait deux individus distincts, un dans chaque classe. Dites-moi si j’ai bien compris la raison de votre divergence avec M. Peano sur ce point.

Vous savez que M. FREGE prétend avoir démontré la loi de l’induction (P. 81 de sa Begriffschrift) au moyen de sa définition (76) de « y suit x dans la série f » = « Si tout résultat de f sur x a la propriété F, et si la propriété F est héréditaire dans la série f, il en résulte que y a la propriété F. » Df de la propriété héréditaire dans la série f ^j : « Si F (∆) et si ∆ est dans la relation f avec A, on a aussi f (A) ». — Il me semble que cette démonstration enferme un cercle vicieux subtil, comme celle de Dedekind (ainsi que l’a remarqué M. Keyser, Bull. Am. Math. Soc. IX, 424). Avez-vous une opinion là-dessus ? Vous devez avoir étudié et critiqué autrefois cette démonstration.

— Je retrouve dans mes notes ceci, à propos des 2 déf. de l’infini : BURALI-FORTI (Le classi finite, 1896) déduisait le principe d’induction de la déf. de l’infini (de Cantor), au moyen du postulat suivant (§ 2, P 17) : u ε K’(K – ιɅ) . ⸧ . u < ∪’u : « si u est une Cls de Cls non nulles, son nombre cardinal est inférieur ou égal à celui de ∪’u ». Ce postulat a quelque analogie avec celui de Zermelo.

— Je serais bien aise de connaître la notation inventée par M. Whitehead pour les relations à plus de 2 termes. J’ai parfois cherché quelque chose de semblable, sans rien trouver.

— M. Laurent va^k publier dans l’Ens. math. (19 juillet) un petit article sur l’Algèbre de la Logique pour montrer qu’elle rentre dans la Mathématique telle qu’il la conçoit. Je répondrai peut-être quelques mots.

— J’ai été bien affligé ces jours derniers par la perte de mon vieil ami Hannequin, miné depuis 19 ans par un mal incurable ; on l’avait sauvé il y a 6 ans par une opération hardie ; il vivait depuis lors avec un rein ouvert ! Il a supporté tout cela avec un courage admirable.

— Je vous envoie le prospectus d’Americana ; vous pouvez le garder, ou le donner. — Ne vous pressez pas pour répondre à toutes mes questions. Si je me risque à vous les poser, c’est surtout pour vous suggérer des aperçus nouveaux, et pour vous rappeler le public profane auquel vous devez vous adresser. C’est pourquoi je me fais un peu « l’avocat du diable ». Croyez, cher Monsieur, à mes sentiments cordiaux et dévoués.

Louis Couturat

Notes

^aPapier à en-tête de la Délégation ^b[dans]{sous} ^c[(et cela ne me semble] ^d[sur des]{non sur} ^e{des individus} ^f[exist]{indé} ^g[de les]{à second} au-dessous de la ligne ^h[l’axiome de Zermelo]{la définition de la classe multiplicative בk} ⁱrature ^j{dans la série f } ^k[vient de]{va}