LOUIS COUTURAT TO BR, 28 JUNE 1905
BRACERS 53255. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #171
Edited by A.-F. Schmid

Chalet Mi-Côte, Veules (Seine Inférieure),
le 28 juin 1905.

Cher Monsieur,

Je vous remercie infiniment, ainsi que Madame Russell, de votre invitation, et vous savez que nous y répondrions avec le plus grand plaisir. Malheureusement, on n’est jamais aussi libre qu’on le paraît, et on ne fait pas souvent ce qu’on voudrait. Nous ne pourrons pas passer en Angleterre à la fin de juillet, comme nous l’espérions, et rentrerons à Paris vers le 25 juillet, directement en revenant d’ici. Nous le regrettons vivement, et nous remettons notre projet à une autre année, en espérant que nous aurons auparavant le plaisir de vous voir, soit à Paris, soit à Bois le Roi, où nous allons bientôt nous installer.

Je vous remercie de vos explications, notamment de la « contradiction », que vous avez mise sous une forme très claire et « populaire » en imitant le sophisme classique du Menteur. Pourquoi faut-il qu’à mesure que vous éclaircissez certains points, vous découvriez des difficultés sur d’autres ? J’ai été désolé d’apprendre que les deux Df. de l’infini ne peuvent pas se déduire l’une de l’autre : la démonstration donnée par M. Whitehead m’avait réjoui jadis. Je sais bien que tout cela est un progrès de la spéculation logique, et que notamment il est fort intéressant d’avoir découvert l’axiome de Zermelo, et l’axiome plus simple d’où il peut se déduire. Mais c’est bien embarrassant, et un peu décourageant, pour celui qui, comme moi, s’efforce d’exposer ces théories sous forme élémentaire et systématique. Cela me fait croire que l’œuvre que je tente est téméraire, ou au moins prématurée, la « science » en question n’étant pas encore fixée. Et pourtant, d’autre part, elle est utile, car il est fâcheux que ces recherches soient si peu connues et appréciées, et il est à craindre que si les philosophes ne commencent pas dès maintenant à s’y initier, ils ne parviennent jamais à les comprendre. Il est vrai que tout cela se simplifiera et se « tassera » par la suite ; mais, en attendant, je ne sais plus « sur quel pied danser », comme on dit vulgairement.

— Voici M. Lechalas qui me demande des explications sur la différence des implications matérielles, et des impl. formelles, et sur les paradoxes auxquels l’impl. matérielle donne lieu (a ⸧ c . ∪ . b ⸧ c . = . ab ⸧ c, par ex.).

— De votre côté, ne perdez pas votre temps avec M. Mac Coll : comme vous le dites, il ne peut plus rien apprendre, et il est incapable de sortir de son système pour comprendre les autres. Il m’a fait naguère des questions naïves sur l’indépendance des axiomes, qu’il s’obstinait à interpréter comme on fait dans la théorie des probabilités (2P, A, B, sont indépendants l’un de l’autre,

lorsque = $\frac AB = \frac Aε$, ou = $\frac BA = \frac Bε$). Il en concluait que toutes les certitudes sont indépendantes les unes des autres ? —

J’ai fait votre commission à M. Veblen, et lui ai donné votre adresse. Je suppose qu’il vous a écrit depuis lors. — Je n’ai pas vu le compte rendu^b de votre livre de Vierteljahrschrift ; mais je devine ce qu’il peut être. Si mauvais qu’il soit, il n’y a pas là de quoi « désespérer ». J’ai vu en revanche le compte rendu^c de votre livre par M. Wilson, dans Bull. Am. Math. Soc., et j’ai reçu depuis une lettre de ce M. Wilson, qui paraît apprécier médiocrement (comme nous) les théories logiques de Hilbert. — J’ai constaté avec plaisir que votre œuvre est connue et appréciée en Amérique ; voici^a deux autres^b faits qui me l’ont montré. D’une part, j’ai lu l’intéressante conférence de M. Bôcher : The fundamental conceptions and methods of math. dans Bull. Am. Math. Soc. (déc. 1904) ; il y parle (un peu trop brièvement) de votre théorie, et vous reproche de n’avoir pas démontré suffisamment l’existence des nombres entiers, d’où dépendent tous les autres théorèmes d’existence. Savez-vous ce qu’il veut dire exactement par là ? Acceptez-vous son interprétation de votre théorie, par comparaison à la théorie de Peirce, qui définit la math. par sa forme, et à la théorie de Kempe, qui la définit par sa matière ? Sa formule « by logical principles from logical principles » est assez heureuse : elle rappelle la distinction si bien faite par Frege entre les principes et les règles du raisonnement.

D’autre part, ayant écrit à M. Josiah Royce à propos de son article sur la philos. des math. de Kant (Journal of Philosophy), j’ai reçu de lui une réponse extrêmement aimable, qui montre qu’il a suivi avec attention mes articles, et qu’il est très au courant de vos travaux et des travaux de Logistique (ce qu’on ne peut pas dire, jusqu’ici, des philosophes français !). Il me dit qu’il va publier en juillet, dans les Trans. Am. Math. Soc., un article « on the relation of the principles of Logic to the Foundation of Geometry » où il développera les idées de Kempe, qu’il vous reproche d’avoir négligées. Voilà deux fois, en peu de temps, que je trouve ce nom, que je ne connaissais pas ; les idées de Kempe datent pourtant de 1890, je m’étonne de ne les avoir encore vues citées nulle part. Il faudra que j’en prenne connaissance. Vous devez les connaître ; qu’en pensez-vous ? Pas grand bien, sans doute, puisque vous ne les avez pas citées, alors que vous avez cité Frege, avec insistance. Mais la question générale qui me préoccupe en ce moment, à la suite de ces lectures, est celle-ci : Peut-on (doit-on) définir la mathématique par sa méthode seule, ou par son objet seul, ou par sa méthode et son objet à la fois ? Et dans quelle espèce rentre réellement votre définition ? Je croyais d’abord, je l’avoue, qu’elle rentrait dans la 1^e (méthode ou forme) ; et d’autre part, je reconnais qu’elle tend à définir les objets de la math. en termes de Logique. Mais cette dualité de définition ne me satisfait pas : ne suffit-il pas de définir la méthode seule, ou l’objet seul, et le reste n’est-il pas déterminé par là même ? Ou n’y aurait-il pas alors deux sciences appelées mathématique, l’une caractérisée par sa méthode, l’autre par son objet, et qui ne coïncideraient que partiellement ? La 1^ère ne serait pas autre que la Logique, j’entends la vraie Logique, la Logique universelle. Il n’y a aucune nécessité à ce qu’une science qui procède formellement^d suivant les règles de la Logique doive partir, matériellement, des principes de la Logique : puisque les règles de la Logique s’appliquent à n’importe quelle matière.

—Voici comment M. Royce m’indique le contenu de son prochain article, et ce qu’il s’est proposé d’y faire, en suivant^e Kempe : « a reduction of the unsymmetrical or ordering relations of the logic and of geometry, to a basis in a purely symmetrical (triadic or polyadic) relation ; a new developement, on this basis, of the principles of logic ; a definite connection of the algebra of logic with the modern ordinal theory of the continuum ; etc. ». Ce contenu est fort intéressant, et « fait venir l’eau à la bouche » ; mais il est probable qu’il ne sera pas traité avec la rigueur nécessaire, qui seul^f procure l’usage de la Logistique. — Le même numéro du Journal of Philosophy contenait un article de M. C. J. Keyser sur les dernières questions de mathématiques, c. à d. sur les points encore douteux et obscurs de la théorie des ensembles. Ce mathématicien m’a paru très au courant des recherches de Logistique. Je lui ai écrit un mot, parce qu’il me citait parmi les « savants », entre Poincaré et Mach !! Je viens de recevoir un prospectus d’une nouvelle encyclopédie, Americana, où M. Keyser dirige la partie mathématique : M. Huntington fait l’article Symbolic Logic, M. Veblen l’article Theory of functions of the real variable, etc. Je puis vous envoyer le prospectus, s’il vous intéresse. On y sent l’ambition, bien yankee, de faire quelque chose de plus fort que tout ce qui a paru jusqu’ici. L’orgueil national, si ridicule qu’il soit au point de vue philosophique et rationnel, est assurément une grande force. Les Etats Unis ont toujours l’air de vouloir « ne faire qu’une bouchée » de l’Europe. Ils y arriveront peut-être, si les Etats européens continuent à se montrer les dents, et à s’épuiser en armements croissants ! Les incidents présents ne sont pas faits pour encourager les « pacifistes » français !

Recevez, cher Monsieur, avec mes vœux pour le succès de vos travaux, l’expression de ma cordiale sympathie.

Louis Couturat

Notes

^aPapier à en-tête imprimée , l’adresse de Paris est barrrée, lettre manuscrite ^b[les] ^c{autres} ^d[d’après]{en suivant}