BR TO LOUIS COUTURAT, 12 MAY 1905
BRACERS 53254. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #170
Edited by A.-F. Schmid

Lower Copse,
Bagley Wood,
Oxford.
12 mai 1905.

Cher Monsieur,

Je vous remercie vivement pour votre « Algèbre de la Logique », qui est arrivée depuis quelques jours. Je n’ai encore lu que la conclusion ; mais je comprends et j’approuve fort le plan assez restreint de l’œuvre, et je n’y chercherai pas ce qui n’y serait pas en place. Il est très probable que j’aurai à en rendre compte dans le Mind ; je donnerai alors l’autre exemplaire à M. Whitehead. Vous me demandez des nouvelles de lui ; eh bien, nous allons demain, ma femme et moi, faire une visite de deux jours aux Whitehead, que nous voyons naturellement assez souvent. Whitehead se porte bien, et travaille avec une assiduité merveilleuse ; car ses devoirs en fait d’instruction occupent une grande partie de ses journées. Madame Whitehead, comme vous savez, n’a pas bonne santé ; mais elle se porte à présent aussi bien que d’habitude. Ils ont trois enfants, deux fils et une fille, qui laissent espérer qu’ils ressembleront à leurs parents.

Je me réjouis énormément de l’espoir que vous me permettez d’une visite pendant l’été. Ce serait vraiment un très grand plaisir de recevoir Madame Couturat et vous dans notre nouvelle maison, et je dis ceci autant de la part de ma femme que de ma part. Quant à moi, il y a une foule de choses que j’aimerais à discuter avec vous ; et je voudrais renouer les relations très agréables commencées à Caen et à Paris. Je vous prie donc instamment de ne pas abandonner l’intention de venir en Angleterre.

Quant à votre regret que l’Algèbre de la logique ne soit pas le tout de la logistique, c’est le vieux paradoxe de ceux qui cherchent la vérité ; ils espèrent en trouver autant que possible, mais s’ils la trouvaient toute entière, il ne leur resterait rien à faire. Pour ma part, je me réjouis que la logistique soit un si grand sujet ; si seulement je savais résoudre les contradictions d’une manière plus satisfaisante. (En passant, je trouve que les principes que j’ai adoptés pour résoudre ma contradiction suffisent aussi à résoudre celle de Burali-Forti.) Les contradictions n’ont rien à faire avec la nature des classes, ni avec l’infini. Le vieux paradoxe grecque^a du menteur en donne un exemple assez simple. En voici la meilleure forme : soit k la classe des propositions qu’affirme une certaine personne dans le temps t ; et supposez qu’une de ces prop. affirme qu’il y a au moins une prop. dans la classe k qui n’est pas vraie. Supposez encore que toutes les autres prop. qu’affirme cette personne pendant le temps t soient vraies. Il n’est pas à en douter que toutes ces conditions peuvent se réaliser dans la pratique. On se demande alors : Est-il vrai ou faux qu’il y a parmi ces Prop au moins une qui n’est pas vraie ? Si oui, ce ne peut être que celle qui affirme qu’il y en a une qui n’est pas vraie ; donc, elles sont toutes vraies. Mais alors celle qui affirme qu’elles ne sont pas toutes vraies est vraie ; donc,^b elles ne sont pas toutes vraies ; etc. En symboles, en mettant

Ʌ‘k . = : p ε k . ⸧_p . p

on a

(~ ‘Ʌ‘k) ε k : ⸧ : Ʌ‘k . ⸧ . ~ ‘Ʌ‘k : ⸧ : ~ ‘Ʌ‘k : ⸧ : (Ǝp) . p ε k . ~ ‘p : ~ ‘Ʌ‘k : ⸧ : (Ǝp) . p ε k . ~ ‘p . p ≠ ~ ‘Ʌ‘k : ~ ‘Ʌ‘k

Donc, l’hypothèse

(~ ‘Ʌ‘k) ε k : p ε k . p ≠ ~ ‘Ʌ‘k . ⸧p . p

entrainec la contradiction qu’on a Ʌ‘k . ≡ . ~ ‘Ʌ‘k. On peut, je crois, ramener toutes les formes de la contradiction à celle-ci. Vous verrez que dans le cas du menteur, k est une classe finie. On croit d’abord pouvoir résoudre cette contradiction en disant qu’une prop qui affirme qu’une qualité quelconque appartient à tous les termes d’une classe ne doit pas être elle-même un terme de cette classe. Mais il s’ensuivrait qu’on ne peut rien affirmer au sujet de toutes les prop. ou de tous les êtres, par exemple « p ⸧_p p » et « x =_x x » seraient dénuées de sens. Ceci rendrait impossible la logique et la philosophie. Il faut donc trouver une autre solution. On peut éviter les classes, en mettant Ʌ‘φ . = : φ‘p . ⸧_p . p et en substituant φ‘~ ‘Ʌ‘φ à (~ ‘Ʌ‘k) ε k. Il me paraît en résulter que la solution doit se trouver dans un cercle vicieux que renferment certaines Df qui n’en ont pas l’air. Mais je ne sais pas encore préciser cette idée.

Je suis complètement d’accord avec ce que vous dîtes^d au sujet de Peirce. Vous savez sans doute qu’il est l’auteur du « pragmatisme », théorie qui ressemble à celle de M. Le Roy, en faisant de la volonté la source de la vérité. C’est de lui que William James a emprunté cette doctrine néfaste, dont l’apôtre ici est F. C. S. Schiller, auteur de « Les axiomes comme postulats » dans le rapport du Congrès de 1900.

Je me trouve en correspondance assez vive avec Mac Coll. Il paraît incapable de rien apprendre : il croit toujours que les différends ne tiennent qu’à une différence de noms, et il ne voit pas qu’il confond des choses distinctes, p. ex. une prop. et une fonction propositionelle.^b Il est vrai que j’ai écrit une note pour répondre à la sienne, et aussi à son article dans le Mind au sujet de l’existence. Il a l’intention d’écrire une réplique.

Je n’ai pas encore lu Veblen, mais Whitehead, qui s’occupe de géométrie dans le moment, me dit qu’il le trouve excellent, et qu’on peut résumer sa théorie en disant qu’il envisage l’espace comme le champ d’une relation ternaire. Whitehead a même inventé une nouvelle notation, apte à traiter des relations ternaires, quaternaires, etc., ce que ma notation xRy ne peut faire ; et il a fait cette notation exprès pour symboliser les idées de Veblen. Si vous lui écrivez, je vous prie de lui dire qu’il me ferait un très grand plaisir en venant me voir, et que je suis sûr que Whitehead aussi aimerait à faire sa connaissance. Si je savais son adresse, je lui écrirais ; mais je suppose qu’il n’est plus à Palermo — qui, soit dit en passant, est l’endroit plus beau du monde, du moins de la partie du monde que j’ai visitée. Je ne crois pas que son intelligence tient à un caractère national ; en Angleterre et en Amérique, comme en France, la plupart des mathématiciens sont bornés et dédaignent la philosophie ; mais vous connaissez le Français moyen, tandis que parmi les étrangers, vous ne connaissez que les exceptions. Quant aux Allemands, avez-vous vu le compte rendu de mon livre dans le dernier numéro de la Vierteljahresschrift f. wiss. Phil. ? C’est désespérant.

On vient de publier une traduction de « La Science et l’hypothèse », et j’en ai fait deux comptes rendus, un populaire, pour un journal quotidien, l’autre plus sérieux, pour le Mind. J’admire la fraîcheur et la lucidité de ses idées, et je trouve que ses théories contiennent presque toujours quelque chose d’instructif. Mais ses idées sur l’induction complète ne contiennent absolument rien de bon. A ce sujet, j’ai découvert qu’il n’existe pas de preuve concluante de l’identité des deux Df du fini, celle par l’induction complète et celle par l’absence de similarité entre le tout et la partie. La preuve acceptée emploie le principe que, étant donné une classe de classes non nulles, on peut extraire un terme de chaque classe pour former une nouvelle classe. C’est l’axiome de Zermelo, dans sa preuve que toute classe peut être bien ordonnée. Or je ne vois aucune raison de croire que cet axiome est vrai. S’il n’est pas vrai, on ne peut prouver qu’une classe dont on peut retrancher un nombre fini quelconque de termes sans l’épuiser doit contenir une α₀ c’est à dire

m ε Ncfin . ⸧_m . Ǝ‘(m ∩ Cls‘u) : ⸧ . Ǝ‘(α₀ ∩ Cls‘u).

Ceci est très fâcheux. On emploie aussi ce principe pour prouver que l’addition et la multiplication donnent des résultats uniques, c’est à dire pour

R ε 1 → 1 . r ⪽ sim . D‘R, $\breve {D}$‘R ε Cls²Excl . ⸧ . ∪‘D‘R sim ∪‘$\breve {D}$‘R.

בD‘R sim ב$\breve {D}$‘R .

Aussi pour

α, β ε Nc . k ε α ∩ Cls Excl‘β . ⸧ . ∪‘k ε α × β . בk ε β^α.

Aussi pour בk = Ʌ . ⸧ . Ʌ ε k.

Ici בk = ??{u ε k . ⸧_u . p ∩ u ε 1 : p ⸦ ∪‘k} Df .

Je ne puis prouver k ε Cls²Excl . Ʌ‘Ǝ‘‘k . ⸧ . Ǝ‘ בk. Pour ceci, ainsi que pour le théorème de Zermelo, on a besoin d’un axiome dont la forme la plus simple est celle-ci :

(Ǝf ) : Ǝ‘u . ⸧_u . f ‘u ε u Pp ?

Sans un tel axiome, une grande partie de l’arithmétique reste douteuse.

Recevez, cher Monsieur, l’assurance de mon désir le plus vif de vous voir, vous et Madame Couturat, en visite ici, ainsi que l’expression de mes sentiments les plus cordiaux.

Bertrand Russell.

Notes

^aSic ^b[donc] ^c-dsic