BR TO LOUIS COUTURAT, 5 APR. 1905
BRACERS 53251. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #166
Edited by A.-F. Schmid

Rolston Str.
Chelsea
5 avril 1905

Cher Monsieur,

Je partage votre avis sur Hilbert et l’infatuation germanique. Quand on parle de Peano à un Allemand, il répond que Peano n’est pas « wissenschaftlich » ; en général il se permet cette opinion sans l’avoir lu. L’axiome d’intégrité est faux dans presque tous les cas. Les axiomes de la géométrie euclidienne, p. ex., se vérifient pour une infinité de classes différentes ; cette infinité est même la plus grande possible, Nc‘ $\bar {V}$, où $\bar {V}$? représente la totalité des êtres, ~ Ʌ. De même pour les cinq axiomes arithmétiques de Peano. C’est pour cela que la Df par abstraction ne vaut rien.

Je n’ai rien lu jusqu’à présent sur l’analysis situs, que je compte étudier avant de publier mon Vol. II. Il me paraît nécessaire de me concentrer sur les difficultés spéciales de cette œuvre, jusqu’à ce que j’arrive à une solution qui me satisfasse. Alors j’étudierai de nouveau la littérature, que j’ai dû négliger depuis quelque temps. Tous vos renseignements m’intéressent beaucoup, et je compte en profiter tôt ou tard.

Le compte rendu de Wilson m’a fait beaucoup de plaisir ; il paraît avoir apprécié juste les points qui m’intéressaient.

Je me réjouis que vous ayez vu la nécessité de ma Pp * 2.31, qui va de « un quelconque » à « tous ». Elle se trouve dans Frege, et c’est de lui que je l’ai apprise. Elle s’emploie dans toute déduction, sans exception, qui aboutit à une Prop. générale, c’est à dire une Prop. qui s’occupe de tous. Qu’on ait

(x) . φx et (x) . φx ⸧ ψx

On déduit, par * 2.3.,

φx et φx ⸧ ψx

Donc ψx, donc (x) . ψx, par * 2.31.

C’est là le type de toute déduction qui aboutit à une Prop. de la forme (x) . ψx.

Mais je ne crois pas bon d’appeler ce principe « principe d’induction », car l’induction dans un sens spécial se démontre pour les nombres finis, et dans un autre sens pour tous les nombres ordinaux. C’est à dire on a :

⊢ : . 0 ε s : n ε s . ⸧_n . n + 1 ε s : ⸧ . Ncfin ⸦ s

et en mettant μn = No ∩ m ɜ (m < n) Df ^a

No = Nombre ordinal, fini ou infini, Df, on a

⊢ : . 0 ε s : n ε No . μn ⸦ s . ⸧_n . n ε s : ⸧ . No ⸦ s

Ces deux Props, qu’on démontre, sont les principes d’induction dans un sens très utile, et je crois bon de réserver le nom pour eux. Il est faux de supposer que les valeurs de n dont il s’agit sont seulement les nombres (finis ou ordinaux) ; ce sont tous les êtres, comme dans toute implication formelle. Quand on a n ~ ε s, on a nécessairement n ε s . ⸧ . n + 1 ε s, puisqu’on a n ε s . ⸧ . (r) . r. Il n’y a absolument rien dans le fait qu’on prend une seule valeur de n pour démontrer la conclusion de n à n + 1, qui distingue la méthode de toute autre déduction. P. ex. en géométrie on prend un triangle, un cercle, etc. La vraie analyse logique est celle-ci : on prend un être absolument quelconque, et on démontre que s’il est un triangle, il possède telle propriété. C’est à dire on démontre une Prop. de la forme

(x) : x ε triangle . ⸧ . ψx

ce qui ne s’applique pas seulement aux triangles, mais à tous les êtres. Seulement dans le cas où l’hypothèse n’est pas vraie, l’implication n’a aucune importance.

Je connais Fontainebleau, que j’ai beaucoup admiré. Je voudrais bien venir vous voir, mais je crois qu’il me faudra travailler tout l’été.

Veuillez présenter mes hommages à Madame Couturat, et recevez, cher Monsieur, l’assurance de mes sentiments les plus cordiaux.

Bertrand Russell.

Notes

^aUne formule suit, raturée et tout à fait illisible.