BR TO LOUIS COUTURAT, 9 FEB. 1905
BRACERS 53250. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #164
Edited by A.-F. Schmid

4 Ralston Street
Tedworth Square S.W.
9 février 1905

Cher Monsieur,

J’ai lu le mémoire de Hilbert que vous avez eu la bonté de m’envoyer, mais je n’y trouve rien qui ait aucune valeur. J’y trouve la même absence de système et d’ordre que dans sa géométrie, le même goût pour tout exp. qui est compliqué et détourné en préférence aux principes fondamentaux. Son système de logistique n’est pas bon, et je me demande combien il croit pouvoir conduire les arguments verbales^a qu’il se permet, sans avoir déjà adopté les axiomes qu’il faut pour pouvoir faire des déductions. Autre chose : son idée de combinaison est d’une complication dont il n’a aucun soupçon. Il se permet la répétition d’un même objet 1 ; donc, il faut que ce ne soit pas une classe dont il s’occupe, mais une corrélation, une relation 1 → Nc entre 1 et les objets d’une classe donnée, ou plutôt d’une série donnée. Puisqu’il se permet tout nombre fini de répétitions, il faut que cette série soit infinie. Si vous essayez d’analyser et de préciser la notion de répétition, vous verrez que ces conséquences sont nécessaires.

Je ne vois pas pourquoi il parle de P. exactes quand il veut dire « P. vraies ». Aussi il n’est pas vrai que les P. fausses soient des non-êtres, tandis que les P. vraies soient des êtres. J’ai tâché de réfuter cette idée dans mon troisième article sur Meinong. A part la locution « définir au moyen d’un axiome », que vous avez souligné,^b il y a ce qu’on peut appeler une faute de grammaire en disant qu’on définit « > » par x > y . y > z . ⸧ . x > z. On peut bien mettre

Transitif = ??(xRy . yRz . ⸧_x,y,z . xRz) Df

Mais on n’obtient pas ce qu’on désire en mettant

> = ℩Transitif Df

puisque Transitif n’est pas une classe composée d’un seul terme.

L’idée II, que les axiomes ne s’appliquent qu’aux objets qu’on a déjà introduits, ou « que nous sommes en train d’introduire », est très vague, et peut dans certains cas renfermer un cercle vicieux : c’est ce qui arrive dans le cas qu’on désire exclure. Qu’on mette : w = ??(x ~ ε x) Df . Voilà un objet qu’on est en train d’introduire ; donc les axiomes s’appliquent à cet objet. Mais il se trouve que, en formulant les axiomes comme on le fait d’habitude, ils ne s’appliquent pas à cet objet ; donc c’est un objet que nous ne sommes pas en train d’introduire. Il s’ensuit que le principe de Hilbert^c peut se formuler comme il suit : « Nous ne savons pas d’avance si nos axiomes sont vrais pour tous les objets ou non ; mais si nous trouvons des objets pour lesquels ils ne sont pas vrais, nous nous garderons bien d’en parler ». On a beau jeu construire une théorie de l’univers d’après cette méthode. On pourrait dire : « Je prends comme axiome que tout ce qu’il y a au monde, c’est le vin ; cependant, s’il se trouvait une chose qui ne fût^d pas du vin, je préserverais mon axiome en évitant de parler d’une chose si exceptionnelle ». N’est-ce pas un non-sens ?

Quant à Boole, je vous écrirai de nouveau quand je saurai davantage. Je crois qu’il serait mieux de trouver un « publicateur » anglais, mais je traduirais volontier^e votre français. Je ne désire pas prendre le temps qu’il me faudrait pour faire l’édition moi-même ; aussi n’ai-je pas le quart de vos connaissances historiques. Je ne sais pas du tout si les MSS dont il est question ont aucune valeur, mais je tâcherai de les voir bientôt. Le jeune homme et son père sont amis intimes de Mrs Boole ; il n’est donc pas curieux qu’ils aient le soin des MSS. — Il vaut mieux publier en anglais, puisque Boole était Anglais. Mais je ne vois là aucun obstacle. J’espère que vous vous résoudrez à entreprendre ce travail. Whitehead est beaucoup trop occupé ; le Vol. II occupe tout le temps qu’il peut épargner à ses devoirs.

J’attends avec impatience votre algèbre de la logique et votre manuel de logistique ; et je vous envoie l’assurance de mes sentiments les plus cordiaux.

Bertrand Russell.

Notes

^a-bSic ^c[Frege]{Hilbert} ^d-e[n’était]