BR TO LOUIS COUTURAT, 1 JAN. 1905
BRACERS 53248. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #159
Edited by A.-F. Schmid

Ivy Lodge,
Tilford,
Farnham.^a
1 janvier 1905

Cher Monsieur

Recevez, je vous prie, l’assurance de ma profonde sympathie au sujet de la triste nouvelle de la mort de M. votre père. J’espère qu’il n’a pas eu à souffrir une maladie^b longue ou pénible. Les consolations d’autrui ne valent pas grand’chose en pareille^c cas ; il n’y a que le temps qui console effectivement. Je ne vous répéterai donc pas les lieux communs consacrés à de tels occasions ; mais j’espère que vous n’en croirez pas moins à la réalité de ma sympathie.

Je vous renvoie ci-joint les « remarques de logicien » et la réponse à M. Baire, qui m’ont beaucoup plû. Il est curieux que M. Baire trouve très juste d’employer de la logique symbolique qu’il a inventée lui-même ou empruntée à Dedekind, tandis qu’il prétexte que quand d’autres inventent d’autres symboles pour les mêmes idées ils s’occupent d’affaires frivoles. Par^d exemple, D (P₁, P₂, P₃ …) , (symbole qui ne s’applique qu’à une classe finie ou Aleph₀ ) est bien, mais ℩‘u est mal. Pourquoi ? C’est vraiment assez bête.

M. P. Boutroux n’est pas venu me voir, ayant sans doûte^e déjà approfondi mon système complètement. Mais il est allé voir Whitehead, qui paraît avoir formé sur son compte à peu près la même opinion que la vôtre. — Il me paraît que votre Algèbre de la Logique et votre Manuel seront d’une grande utilité. Je vois de plus en plus qu’on a besoin d’une echelle^f pour conduire les lecteurs pas à pas de la mathématique vulgaire au raisonnement correcte.^g Mais je crois qu’à chaque pas on doit indiquer qu’il reste encore des pas à faire. Sans cela, on risque de détourner les lecteurs des progrès futurs du sujet qu’on expose.

Je crois que, pour répandre la logique symbolique, il faut, comme Peano, occuper une chaire et fonder une école. C’est comme cela que les idées nouvelles en philosophie se sont généralement répandues.

Je n’ai pas encore lu la Dem de Zermelo, mais je crois pouvoir réfuter le théorème en question. Je vais bientôt obtenir l’article de Zermelo, et j’aurai alors une opinion mieux fondée.

La distinction analytique — synthétique me paraît juste en philosophie, mais sans importance en mathématique. p . q . ⸧ . p est une inférence analytique.

Soit p « 2 + 2 = 4 ». On a 2 + 2 = 4 . ≡ . 3 + 1 = 4 . Donc 2 + 2 = 4 . q . ⸧ . 3 + 1 = 4 . Voici une inférence synthétique. Synthétique — analytique a à faire avec la signification des Props ; en substituant à une prop vraie une autre prop vraie, ou à une fausse une fausse, dans une partie seulement d’une formule, on en change le caractère sous ce point de vue, mais non pas sous le point de vue de la logique de l’implication. La plupart des inférences mathématiques sont synthétiques ; p. ex. celle que voici :

⊢ : : u ε 1 . ⸧ : . x ε u . ⸧_x . φ‘x : ≡ . φ‘℩‘u

On emploie constamment ce principe pour obtenir des Prop. sur des choses définies sous la forme

a = ℩‘u Df.

On emploie pour cela la Pp

⊢ : . f ‘x . ≡_x . x = a : ⸧ . ℩‘??( f ‘x) = a Pp

Il s’ensuit, de ce qu’on emploie de tels principes, qu’il y aura dans le calcul des cas où l’on sait que p ⸧ q, sans que p soit de la forme q . r. Mais ce fait n’a pas d’importance mathématique, puisque, du point de vue du calcul, on ne s’occupe pas de la signification des Prop, mais seulement de leur vérité ou fausseté. Il y a quelque chose d’analogue à l’extension d’une classe. Soit f ‘p une fonction définie par le seul moyen de l’implication : on aura p ≡ q . ⸧ . f ‘p ≡ f ‘q . (Ce théorème ne se démontre pas en général, mais il est vrai dans tous les cas particuliers que je connaisse.) De même, si φ est une fonction, et f ‘φ se définit par le moyen de la fonction ??( χ‘z),^h considérée comme fonction de χ on aura

(x) . φ‘x ≡ ψ‘x . ⸧ . f ‘φ ≡ f ‘ψ

Mais tout ce qui relève de l’analyse s’occupe de signification, et ne satisfait pas aux conditions ci-dessus. On se trouve au point de vue de l’intension, non de l’extension, en étendant ces idées aux props.

Recevez, cher Monsieur, malgré la triste perte que vous avez soutenue, mes meilleurs vœux de nouvel an pour vous et pour Madame Couturat, ainsi que l’expression de ma bien cordiale sympathie.

Bertrand Russell.

Notes

^aAdresse imprimée ^brature ^csic ^drature ^e-gsic ^hψ corrigé par χ.