LOUIS COUTURAT TO BR, 3 AUG. 1904
BRACERS 53242. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #146
Edited by A.-F. Schmid

Ivy Lodge Tilford Farnham.
3 août 1904

Cher Monsieur,

Tout ce que vous me dites au sujet des dimensions est fort intéressant, et j’espère étudier toute cette question à fond quand je parviendrai à la géométrie dans mon Tome II. Jusqu’à présent, je n’ai pas beaucoup approfondi les problèmes dont vous me parlez. Quant à la nature logique des dimensions, voici l’essentiel, à mon avis :

Ce qui caractérise une surface, c’est une relation entre relations, une R pour laquelle on a

R ɛ Σ . C‘R ⊂ Σ

mettant C‘R pour le champ de R, et Σ pour la classe des séries. Les points de la surface sont la classe

x ɜ {ƎC‘R ∩ Q ɜ (x ε C‘Q)}, c.à.d. È‘C‘‘C‘R

Or on pourra changer la relation R sans changer cette classe : c’est à cause de cela, au fond, que les dimensions sont permutables. Pour une série à trois dimensions, il faut une R telle que

R ɛ Σ . C‘R ⊂ Σ C‘‘C‘R ⊂ Cls‘Σ

[Je mets φ‘‘u = y ɜ {Ǝu ∩ x ɜ (y = φ‘x)} Df.], et ainsi de suite.

D’une manière plus générale, on peut définir le nombre de dimensions d’une R quelconque. On a

Une dim. =R ɜ {∼‘(C‘R ⊂ Rel)} Df ^a

Deux " = R ɜ {C‘R ⊂ Rel . ∼‘(C‘‘R ⊂ Cls‘Rel)} Df ^b

Trois " = R ɜ {C‘R ⊂ Rel . C‘‘C‘R ⊂ Cls‘Rel . ∼‘(C‘‘‘C‘‘C‘R ⊂ Cls‘Cls‘Rel)} Df ^c(1)

etc., en mettant que φ‘‘‘x = y ɜ {Ǝu ∩ x ɜ (y = φ‘‘x)} Df.

Une surface, considérée comme classe, ne se distingue nullement d’une ligne ; mais ce qu’on peut appeler une relation superficielle se distingue d’une relation linéaire en ce que son champ se compose de relations.

J’ai aussi reçu l’article de M. Huntington, qui est utile, puisqu’il donne un minimum de P. nécessaires au développement formel de la logique symbolique.

Quant aux Df avec une hp., il me paraît que vous confondez les symboles avec ce qu’elles doivent représenter. Prenons comme exemple :

u ε 1 . ⊃ . ℩‘u ε u .

Supposons qu’on n’ait pas défini ℩‘u dans le cas où u ε 1 est fausse. Il s’ensuit que, dans ce cas, ℩‘u n’est qu’une trace sur du papier : « ℩‘u ε u » n’est donc que de l’encre, ce n’est pas le symbole d’une P. Par conséquent, « u ε 1. ⊃ . ℩‘u ε u » est complètement vide de sens. Il ne faut pas dire : « La P. "u ε 1 . ⊃ . ℩‘u ε u" est insignifiante » ; il faut dire « La trace "u ε 1 . ⊃ . ℩‘u ε u" sur le papier est insignifiante ». Si on ne donne pas de signification à cette trace sur le papier, elle ne représente pas une P, et par conséquent elle ne représente pas une P. vraie ou une P. fausse. Vous dites : Une P. est vraie dès que l’hp. n’est pas vraie. Je l’accorde. Mais il ne s’ensuit pas qu’une marque sur le papier représente une P. vraie dès que la première partie de cette marque représente une P. fausse. Quand on parle d’une P. insignifiante, on emploie une locution inexacte ; cette locution signifie : « Une marque qui ressemble aux symboles qui représentent des P., mais qui elle-même ne représente pas une P. » C’est, je crois, une forme subtile du nominalisme qui vous a séduit.

Je vous envoie une nouvelle récensiond de ma notation, puisque je l’ai un peu changée dernièrement. C’est excessivement difficile de trouver des notations qu’on peut préserver à travers tout un livre.

Moi aussi je regrette de ne pas vous voir. J’espère que la chaleur, qui est revenue chez nous, ne vous a pas de nouveau rendu malade.

⁽¹⁾ Dans ce cas la classe des points de l’espace est È‘È‘C‘‘‘C‘‘C‘R

Votre cordialement dévoué

Bertrand Russell.

P. S. Votre article sur la grandeur m’a beaucoup plû ; il m’a paru, comme tout ce que vous écrivez, d’une lucidité extraordinaire. Aussi je suis presqu’entièrement d’accord avec vous. Seulement, je ne sais si l’on peut donner un sens précis à la question de savoir si, du point de vue philosophique, le nombre généralisé repose sur la grandeur, ou celle-ci sur celui-là. Toutefois, je reconnais que l’importance de la généralisation du nombre vient de la possibilité de l’appliquer la grandeur.

Deux points d’assez peu d’importance restent :

P. 689 : Le nombre entier ordinal aussi est indépendant de la grandeur, en motif comme en logique.

P. 683 : L’existence des limites ne suffit pas à définir le type θ : du moins, je ne connais pas de preuves qu’il en est ainsi.

Notation. Pour les P. est les classes, comme auparavant.

D‘R, $\breve {D}$‘R, C‘R

ρ, $\breve {\rho}$, r

φ‘‘u = ??{(Ǝx) . x ε u . y = φ‘x} [Je mets ??(φ‘x) au lieu de y ɜ (φ‘x)

R|S pour RS [pour éviter les confusions avec xRy]

$\overrightarrow {R}$‘x, $\overleftarrow {R}$‘x pour ??(yRx) et ??(xRy).

Tout ceci vient sans une nouvelle Df.

Alors $\overrightarrow {R}$‘‘u = ??{(Ǝx) . x ε u . v = $\overrightarrow {R}$‘x}

È‘$\overrightarrow {R}$‘‘u = ??{(Ǝx) . x ε u . yRx} = ρu dans l’ancienne notation

∩‘$\overrightarrow {R}$‘‘u = ??{x ε u . ⸧_x . yRx} = uρ  "   "    "

R^II au lieu de R² (pour éviter les confusions avec x² en arithmétique)

I = ??(x = y), y = ∸‘I.

V = −‘Ʌ [comme vous]

Cnv‘R aussi bien que $\breve {R}$, pour la converse d’une relation.

La notation φ‘‘u est d’un usage constant3. Par exemple,

⊢ : Ʌ‘~‘‘u . ≡ . ~‘v‘u

C’est à dire :

⊢ : x ε u . ⸧_x . ~‘x : ≡ : ~‘(Ǝx) . x ε u . x

ce qui est la forme générale d’une des formules de De Morgan.

De même Ʌ‘Ǝ‘‘k . ≡ : u ε k . ⸧_u . Ǝ‘u etc.

Les conséquences asyllogistiques de Jungius s’expriment :

⊢ : x ε v . ⸧ . φ‘x ε φ‘‘v et ⊢ : v ⸦ w . ⸧ . φ‘‘v ⸦ φ‘‘w .

Notes

^a Russell avait commencé : « Une dim. = Rel ∩ » ^b Russell a d’abord écrit : Deux dim : R ɜ {C‘R ⊂ Rel . ∼‘(C‘‘C‘R ⊂ Rel)} Df ^c Russell avail d’abord écrit : trois dim : R ɜ {C‘R ⊂ Rel . C‘‘C‘R ⊂ Rel . ∼‘(C‘‘‘C‘‘C‘R ⊂ Rel)} Df ^d sic