BR TO "REMARQUES SUR LA LOGIQUE MATHEMATIQUES DE M. COUTURAT", 5 JULY 1904
BRACERS 135567. ALS. La Chaux-de-Fonds Bib., Suisse. Russell–Couturat 1: #142
Edited by A.-F. Schmid

Remarques sur la logique mathématique de M. Couturat.

I. L’habitude d’employer un même signe en sens divers me paraît mauvaise. C’est cette habitude qui a empêché les mathématiciens de comprendre la différence entre

1, le nombre cardinal

$\dot {1}$ le nombre ordinal

+ 1, le nombre positif

1:1, le nombre rationel^a

+ (1:1), le nombre rationel positif

{< (1:1)}, le nombre réel, etc.

Vous employez p = q pour p ⸧ q . q ⸧ p. Aussi vous employez a ⸧ b pour « a implique b » et pour x ε a . ⸧_x . x ε b. Ces usages ne rendent pas l’œuvre plus facile — au contraire, il faut toujours se demander lequel des sens possibles d’un symbole il faut lui attribuer. Et quand on croit comprendre, on a généralement appris à oublier une distinction importante. Je mets :

Existence :

Ǝ‘a pour classes,

$\dot {Ǝ}$‘R pour relations

a = b . = . a est identique avec b

a ≡ b . = a ⸧ b . b ⸧ a

a ⸦ b . = : x ε a . ⸧_x . x ε b

R ⪽ S . = : xRy . ⸧_x,y . xSy

Produit logique :

a . b pour P

a ∩ b pour classes

a $\dot {∩}$ b pour relations

Somme logique :

a V b pour P

a ∪ b pour classes

a $\dot {∪}$ b pour relations

Plus vous avancerez, plus vous trouverez incommode l’ambiguïté des symboles. Pour cette raison aussi j’emploie (p) . p au lieu de Ʌ pour le zéro des P.

II. « x ε a . ⸧ . a ε Cls » me paraît inutile. Aussi je ne vois pas la nécessité de prendre Cls comme indéfinissable. On a Cls = u ɜ {(Ǝφ) . u = x ɜ (φx)} . Peano et Padoa paraissent croire que x ε a n’aurait pas de sens si a n’était pas une classe, ce qui est faux. Pour cette raison, Peano met^b l’hypothèse a ε Cls dans les endroits où elle n’est pas nécessaire. On a

x ε a . ≡_x . (p) . p : ⸧ . a = Ʌ n’est pas vrai, puisque l’hp de cette P est vérifiée si a n’est pas une classe. On a

a ε Cls : x ε a . ≡_x . (p) . p : ⸧ . a = Ʌ

ce qui ne contredit nullement à

x ε a . ⸧_x . Ǝa

puisque, dans le cas supposé, on a (x) . x ~ ε a, donc

(p, x) : x ε a . ⸧ . p

III. Il n’est pas juste d’appeler φx une proposition variable ; p est une proposition variable, par opposition à « Socrate est mortel », qui est une P. constante. φx est une valeur variable d’une fonction variable.

IV. La question de x ɜ φx = x ɜ ψx . ⸧ . φx ≡_x ψx est difficile.

Je me suis exprimé sur ce sujet dans le mémoire anglais ci-joint. Sans un tel axiome, l’arithmétique n’est pas possible. On peut mettre sans réserve φx ≡_x ψx . ⸧ . x ɜ φx = x ɜ ψx. Mais x ε (x ɜ φx) . ≡_x . φx et x ɜ (x ε a) = a ne sont vrais que dans les cas ordinaires. Même dans les cas ordinaires, x ɜ (x ε a) = a a besoin de l’hp a ε Cls. Sans cela, puisqu^d’on a x ɜ (x ε a) = Ʌ quand a est un individu quelconque, on aura a ~ ε Cls . ⸧_a . a = Ʌ, qui est faux.

Pourquoi mettre a ∩ b = b ∩ a   Pp? On a

a ∩ b ⸧ b

V. La notion ℩ est indéfinissable. Vous donnez bien une Df de (z = ℩a), mais ceci ne vous permet pas de donner la moindre signification à ℩a, ce qui est pourtant nécessaire pour les Dfs. La notion ℩ est très fondamentale : c’est elle seule qui permet de passer d’un type supérieur à un type inférieur, p. ex. d’une classe à un individu. C’est par ce moyen qu’on arrive à des individus absolus : p. ex. l’intersection de deux droites, qui est le seul membre d’une classe de points. Voir Frege sur ℩ , Gg. I. § 11.

VI. Dans la Df de 𝔍, ℩ ne se trouve pas dans votre MS. On a (d’après votre système)

𝔍 = ℩Rel ∩ R ɜ (xRy . = . ιx = ιy) Df

Je n’aime pas cette méthode ; car ιx implique déjà l’identité, et vous n’avez pas de méthode, analogue à x ɜ φx, pour obtenir une relation (en extension) d’une fonction propositionnelle. Pour moi,

𝔍 = ?? ?? ($\hat {x} = \hat {y}$) Df

La propriété réflexive n’est pas bien définie dans Peano. Si l’on veut (x) . xRx, il n’est pas vrai, en général, que les relations transitives et symétriques non-nulles soient réflexives — p. ex. sim n’a lieu qu’entre classes. Si on veut

x ε ρ . ⸧_x . xRx

on n’a pas besoin de ƎR. Ce que Peano paraît signifier c’est

(Ǝx) . xRx : x ε ρ . ⸧_x . xRx

ce qui demande Ǝρ, mais non pas Nc‘ρ > 1 , comme je parais l’avoir dit par erreur.

x ɜ (x ε a) = a
To pr. φx ≡ ψx . ⸧ . x ɜ φx ≡ x ɜ ψx
x ε (x ɜ φx) ≡_x φx

VII. Il ne faut pas employer la même notation, ρx, ρu, pour les antécédents d’un individu et d’une classe. J’ai fait ceci autrefois, mais j’ai reconnu que je n’aurais pas dû le faire. Je mets

D‘R      $\breve {D}$‘R      R/x      $\breve {R}$/x      D_u‘R      d_R‘u^e

pour

ρ      $\breve {ρ}$     ρx      $\breve {ρ}$x      ρu      uρ^f

VIII. On n’a pas besoin de Pp pour

ƎRel ∩ R ɜ (ρ = ιx . ^cρ = ιy)

on met ?? ?? ($\hat {u}$ = x . $\hat {v}$ = y) pour cette relation.

IX. Je n’admets pas comme principe la règle de Peano, de ne pas mettre deux symboles au dessus ou au dessous de la ligne.^(*) Pour cette raison, je crois que $\breve {R}$ est commode.^(**) Je ne puis adopter ‘R, à cause de la manière dont j’emploie les virgules dans φ‘x, ce qui a un but assez compliqué, mais fort utile, c’est que, dans l’Arithmétique, on met

φ‘‘u = y ɜ {Ǝu ∩ x ɜ (y = φ‘x)} Df

Ceci simplifie de beaucoup la théorie de ∪‘‘a, ב‘a etc.

P. ex. on met Ʌ‘u . = : p ε u . ⸧_p . p Df . Alors

Ʌ‘Ǝ‘‘u . = . u est une classe composée entièrement de classes non nulles.

Cette notation est dû^g à Whitehead, qui l’a inventée pour les besoins pratiques du calcul des nombres cardinaux.

Voici une page de Df

∸‘R = ?? ?? (~‘(xRy)) Df

D‘R = ?? {(Ǝy) . xRy} Df

$\breve {D}$‘R = ?? {(Ǝx) . xRy} Df

C‘R = D‘R ∪ $\breve {D}$‘R  Df

Ʌ‘R = ?? ?? {x ε D‘R . u = $\breve {R}$/x} Df ^h

D_u‘R= ?? {(Ǝy) . xRy . y ε u} Df

$\breve {D}$_u‘R = ?? {(Ǝx) . xRy . x ε u} Df

R $\dot {∩}$ S = ?? ?? {xRy . xSy} Df

R * S = ?? ?? {(Ǝz) . xRz . zSy} Df [J’ai abandonné RS, ce qui cause parfois des ambiguités avec xRy]

d_R ‘u = ?? {y ε u . ⸧_y . yRx} Df [Je regrette le manque de symétrie entre cette Df et D_u‘R ; mais d_R‘u se trouve seulement dans la théorie des séries, où R est relativement constante, et u est une classe variable contenue dans la série de R. Même remarque pour les Df qui suivent.]

V_R‘u = ?? [x ε d_R‘u : (y) : y ε d_R‘u . x 𝔍 y . ⸧ . xRy] Df

S_R‘u = ℩‘seq_R‘u Df

max_R‘u = ?? [x ε u ∩ C‘R . u ∩ $\breve {R}$/x = Ʌ] Df

m_R‘u = ℩‘max_R‘u Df

s$\breve {e}$q_R‘u = seqR‘u Df etc.

∆_P‘u = ?? {x ε C‘P : (y) : yPx . ⸧ . Ǝ‘(u ∩ $\breve {P}$/y ∩ P/x)} Df

δ_Pu = ∆_P‘u ∩ ∆$\breve {P}$‘u Df

Aussi, si on le désire,

lim_P‘u = ?? {x ε ∆_P‘u . u ∩ $\breve {P}$/x = Ʌ} Df

l_P‘u = ℩‘lim_P‘u Df

La plupart de ces Df est dûeⁱ à M. Whitehead.

Notes

^asic ^b[ils mettent] ^c[ce] ^d{puisqu’} ^e-frature ^gsic ^hRussell a écrit ψ avant ?? ?? ⁱsic

^(*) Cette règle n’a qu’une valeur économique. Je ne crois pas qu’elle rende la notation toujours plus claire.

^(**) J’emploie aussi Cnv‘R, ce qui est commode quand on a une expression composée à la place de R.